《2025年同步练习册分层卷八年级数学上册人教版》

8. (3 分)下列命题写出逆命题后,两者是互逆定理的是(C)
[A] 若两条直线垂直,则两条直线有交点 [B] 若 a + b = 0,则 a 与 b 相等 [C] 同位角相等,两直线平行 [D] 若直线 a ⊥ c,b ⊥ c,则 a // b

答案： C

9. (3 分)如图,在△ABC 中,∠ABC = 52°,P 为△ABC 内一点,过点 P 的直线 MN 分别交 AB,BC 于点 M,N,若点 M 在 PA 的垂直平分线上,点 N 在 PC 的垂直平分线上,则∠APC 的度数为(B)

[A] 104° [B] 116° [C] 128° [D] 142°

答案： B

10. (3 分)到△ABC 的三个顶点距离相等的点是 三条边的垂直平分线的交点.

答案： 三条边的垂直平分线的交点

11. (8 分)写出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假.
(1)如果 x ＞ y ＞ 0,那么$ x^2 ＞ y^2；$
(2)如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个有理数的平方也相等.

答案： 解：
(1)逆命题：如果$x^{2}＞y^{2}$，那么$x＞y＞0$.原命题为真命题，逆命题为假命题.
(2)逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数的绝对值也相等.原命题和逆命题均为真命题.

12. (10 分)如图,在△ABC 中,EF 垂直平分 AC,交 AC 于点 F,交 BC 于点 E,AD ⊥ BC,垂足为 D,且 BD = DE,连接 AE.
(1)求证：AB = EC；
(2)若△ABC 的周长为 19 cm,AC = 8 cm,则 DC 的长为多少？

答案：
(1)证明：
∵EF 垂直平分 AC，
∴AE=EC.
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE.
∴AB=EC.
(2)解：
∵△ABC 的周长为 19 cm，
∴AB+BC+AC=19 cm.
∵AC=8 cm，
∴AB+BC=11 cm.
∵AB=EC，BD=DE，
∴AB+BD=DE+EC=DC.
∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=11 cm，
∴DC=$\frac{11}{2}$cm.

13. (12 分)如图,在△ABC 中,点 E 是边 BC 上的一点,连接 AE,BD 垂直平分 AE,垂足为 F,交 AC 于点 D,连接 DE.
(1)若△ABC 的周长为 23,△DEC 的周长为 9,求 AB 的长；
(2)若∠ABC = 28°,∠C = 46°,求∠CDE 的度数.

答案： 解：
(1)
∵BD 垂直平分 AE，
∴AB=BE，AD=DE.
∵△ABC 的周长为 23，△DEC 的周长为 9，
∴AB+BE+AD+CD+CE=23，CD+CE+DE=9.
∴2AB=23-9=14.
∴AB=7.
(2)
∵∠ABC=28°，∠C=46°，
∴∠BAC=106°.
∵AB=BE，∠ABC=28°，
∴∠BAE=∠AEB=$\frac{180^{\circ}-28^{\circ}}{2}$=76°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAE=106°-76°=30°.
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=30°.
∴∠CDE=∠DAE+∠DEA=60°.