《2025年同步练习册分层卷八年级数学上册人教版》

7. (6分)如图,在四边形ABCD中,∠B= ∠C= 90°,E为BC的中点,且AE平分∠BAD.求证：
(1)DE平分∠ADC；
(2)AB+CD= AD.

答案：
证明：
(1)如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F.

∵∠B=90°，AE 平分∠DAB，
∴BE=EF.
∵E 是 BC 的中点，
∴BE=CE.
∴CE=EF.又
∵∠C=90°，EF⊥AD，
∴DE 平分∠ADC.
(2)在 Rt△ABE 和 Rt△AFE 中，
{BE=FE，
{AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL).
∴AB=AF.同理可得，DC=DF.
∴AB+CD=AF+DF=AD.

8. (8分)如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部且CA= CB,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD= BE.
(1)求证：OC平分∠MON；
(2)如果AO= 12,BO= 4,求OD的长.

答案：
(1)证明：
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDA=90°，∠CEB=90°.
在 Rt△CDA 和 Rt△CEB 中，
{AD=BE，
{CA=CB，
∴Rt△CDA≌Rt△CEB(HL).
∴CD=CE.
∴点 C 在∠MON 的平分线上.
∴OC 平分∠MON.
(2)解：由
(1)可知 CD=CE，AD=BE，设 OD=x.
∵OA=12，
∴AD=OA - OD=12 - x.
∴BE=AD=12 - x.
在 Rt△OCD 和 Rt△OCE 中，
{CD=CE，
{OC=OC，
∴Rt△OCD≌Rt△OCE(HL).
∴OD=OE=x.
∴BO=OE - BE=x - (12 - x)=2x - 12.
∵BO=4，
∴2x - 12=4，解得 x=8.
∴OD=8.

9. (8分)如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平分∠MNB.
(1)求证：OP平分∠AOB；
(2)若MN= 8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和.

答案：

(1)证明：如图，过点 P 作 PC⊥OA，垂足为 C，过点 P 作 PD⊥MN，垂足为 D，过点 P 作 PE⊥OB，垂足为 E.

∵MP 平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD.
∵NP 平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE.
∴PC=PE.
∴OP 平分∠AOB.
(2)解：
∵△PMN 的面积是 16，MN=8，
∴$\frac{1}{2}$MN·PD=16.
∴$\frac{1}{2}$×8PD=16.
∴PD=4.
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN 的面积是 24，
∴四边形 MONP 的面积=△PMN 的面积 + △OMN 的面积=16 + 24=40.
∴△POM 的面积+△PON 的面积=40.
∴$\frac{1}{2}$OM·PC+$\frac{1}{2}$ON·PE=40.
∴$\frac{1}{2}$OM·4+$\frac{1}{2}$ON·4=40.
∴OM+ON=20.
∴线段 OM 与 ON 的长度之和为 20.

10. (12分)如图,在△ABC中,点D在边BC的延长线上,∠ACB= 116°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH= 58°.
(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD= 16,AB= 10,且$S_{△ACD}= 24,$求△ABE的面积.

答案：

(1)解：
∵∠ACB=116°，
∴∠ACD=180° - ∠ACB=64°.
∵EH⊥BD，∠CEH=58°，
∴∠DCE=90° - ∠CEH=32°.
∴∠ACE=∠ACD - ∠DCE=32°.
(2)证明：如图，过点 E 作 EM⊥BF 于点 M，作 EN⊥AC 于点 N.
∵BE 平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴EM=EH.
由
(1)可知，∠ACE=∠DCE=32°，即 CE 平分∠ACD.
∵EN⊥AC，EH⊥CD，
∴EN=EH.
∴EM=EN.
又
∵点 E 在∠CAF 的内部，
∴AE 平分∠CAF.

(3)解：由
(2)得 EM=EH=EN=x.
设 EM=EH=EN=x.
∵S△ACD=24，
∴S△ACE+S△DCE=24.
∴$\frac{1}{2}$AC·EN+$\frac{1}{2}$CD·EH=24，即$\frac{1}{2}$x·(AC + CD)=24，
∴AC + CD=$\frac{48}{x}$.
又
∵AC + CD=16，
∴x=3.
∴EM=3.
∵AB=10，
∴△ABE 的面积为$\frac{1}{2}$AB·EM=$\frac{1}{2}$×10×3 =15.