《2025年同步练习册分层卷八年级数学上册人教版》

7. (6 分)如图,在四边形$ABCD$中,$AB // CD$,点$E$,$F在对角线BD$上,$BE = EF = FD$,$\angle BAF = \angle DCE = 90^{\circ}$.$\triangle ABF \cong \triangle CDE$吗？请说明理由.

答案： 解：△ABF≌△CDE.理由如下：
∵AB//CD，
∴∠ABF=∠CDE.
∵BE=EF=FD，
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE.
在△ABF和△CDE中，
∠BAF=∠DCE，
∠ABF=∠CDE，
BF=DE，
∴△ABF≌△CDE(AAS).

8. (6 分)如图,点$E在\triangle ABC$外部,点$D在边BC$上,$DE交AC于点F$.若$\angle BAD = \angle CAE = \angle CDE$,$AC = AE$.请在图中找出一对全等三角形,并写出证明过程.

答案：
解：△ABC≌△ADE.证明如下：
如图，

∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠1=∠CAE+∠1，
即∠BAC=∠DAE.
∵∠2=∠3，∠EAC=∠CDF，
∴180° - ∠3 - ∠CDF=180° - ∠2 - ∠EAC，
即∠C=∠E.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE，
AC=AE，
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE(ASA).

9. (8 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,直角顶点$A在直线l$上,$AB = AC$,过点$B$,$C分别作直线l$的垂线,垂足分别为$D$,$E$,请你在图中找出一对全等三角形,并加以证明.

答案： 解：△ABD≌△CAE.理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠CEA=∠BDA=90°.
∴∠ABD+∠BAD=90°.
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∠ABD=∠CAE，
∠ADB=∠CEA，
AB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS).

10. (9 分)小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置$A$处,$OA与地面MN$垂直,$OA延长线交MN于点F$.她两脚在地面上用力一蹬,妈妈在$B$处接住她后用力一推,爸爸在$C$处接住她.已知点$B距地面的高度BM = DF = 1m$,点$B$,$C到OA的水平距离BD$,$CE分别为1.4m和1.8m$,$\angle BOC = 90^{\circ}$,点$C距地面的高度CN = EF$,求此时$CN$的长.

答案： 解：由题意，可知∠CEO=∠ODB=90°，OB=OC，BD=1.4 m，CE=1.8 m.
∵∠BOC=90°，
∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°.
∴∠COE=∠OBD.
在△COE和△OBD中，
∠CEO=∠ODB，
∠COE=∠OBD，
OC=BO，
∴△COE≌△OBD(AAS).
∴CE=OD=1.8 m，OE=BD=1.4 m.
∴DE=OD - OE=1.8 - 1.4=0.4(m).
∴CN=EF=DE+DF=0.4+1=1.4(m).

11. (10 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle ABC的角平分线AD$,$BE相交于点P$,过点$P作PF \perp AD交BC的延长线于点F$,$PF交AC于点H$.
(1)求证：$\triangle ABP \cong \triangle FBP$；
(2)试猜想线段$AH与AB$,$BD$之间存在怎样的数量关系,并证明.

答案：
(1)证明：由题意，得AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAP，∠ABP=∠FBP.
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°.
∵PF⊥AD，
∴∠FPD=90°.
∴∠F+∠ADC=90°.
∴∠F=∠CAD.
∴∠F=∠BAP.
在△ABP和△FBP中，
∠BAP=∠F，
∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP(AAS).
(2)解：AH=AB - BD.证明如下：
由
(1)可知，△ABP≌△FBP，
∴AP=FP，BA=BF.
在△APH和△FPD中，
∠PAH=∠F，
AP=FP，
∠APH=∠FPD，
∴△APH≌△FPD(ASA).
∴AH=FD.
∵BF=DF+BD，
∴AB=AH+BD.
∴AH=AB - BD.