《2025年同步练习册分层卷八年级数学上册人教版》

9. (6 分) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = CB $,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,$ F $ 为 $ AB $ 延长线上一点,点 $ E $ 在 $ BC $ 上,且 $ AE = CF $. 求证：$ \mathrm{Rt} \triangle ABE \cong \mathrm{Rt} \triangle CBF $.

答案： 证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
{AE=CF，
{AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．

10. (6 分) 如图,在 $ \triangle ABE $ 与 $ \triangle CBD $ 中,$ AE \perp BD $ 于点 $ E $,$ CD \perp BD $ 于点 $ D $,$ AB = BC $,$ BE = CD $. 求证：$ \triangle ABE \cong \triangle BCD $.

答案： 证明：
∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB=∠BDC=90°．
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
{AB=BC，
{BE=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD(HL)．

11. (7 分) 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = \angle B = 90^{\circ} $,$ E $ 是 $ AB $ 上的一点,$ AE = BC $,$ \angle 1 = \angle 2 $. 求证：$ \triangle ADE \cong \triangle BEC $.

答案： 证明：
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE和△BEC都是直角三角形．
∵∠1=∠2，
∴DE=EC．
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
{DE=EC，
{AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．

12. (7 分) 如图,$ AB = CB $,$ \angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ} $,$ D $ 是 $ EF $ 上一点,$ AE \perp EF $ 于点 $ E $,$ CF \perp EF $ 于点 $ F $,$ AE = CF $. 求证：$ \mathrm{Rt} \triangle ADE \cong \mathrm{Rt} \triangle CDF $.

答案：
证明：如图，连接BD．

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴△ABD和△CBD为直角三角形．
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
{BD=BD，
{AB=CB，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)．
∴AD=CD．
∵AE⊥EF于点E，CF⊥EF于点F，
∴∠E=∠F=90°．
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
{AD=CD，
{AE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．

13. (10 分) 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 10 $,$ BC = 5 $,线段 $ PQ = AB $,$ P $,$ Q $ 两点分别在 $ AC $ 和过点 $ A $ 且垂直于 $ AC $ 的射线 $ AO $ 上运动,当 $ AP $ 等于多少时,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle PQA $ 全等？

解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等．理由如下：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°．
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
{AB=QP，
{BC=PA，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)．
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
{AB=PQ，
{AC=PA，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)．

答案： 解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等．理由如下：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°．
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
{AB=QP，
{BC=PA，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)．
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中，
{AB=PQ，
{AC=PA，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)．