《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 已知$O$为坐标原点,$\overrightarrow {OA}$在基底$\{ a,b,c\} $下的坐标为$(2,1,3)$,其中$a= 4i+2j,b= 2j+3k,c= 3k-j$,则向量$\overrightarrow {OA}$在基底$\{ i,j,k\} $下的坐标为(D).
A.(7,3,12)
B.(3,7,12)
C.(2,4,6)
D.(8,3,12)

答案： D 解析:因为 $\overrightarrow{OA}=2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c}=8\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}+9\boldsymbol{k}-3\boldsymbol{j}=8\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+12\boldsymbol{k}$,所以 $\overrightarrow{OA}$ 在基底 $\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ 下的坐标为 $(8,3,12)$. 故选 D.

2. 空间四边形$ABCD$中,若向量$\overrightarrow {AB}= (-3,5,2),\overrightarrow {CD}= (-7,-1,-4)$,点$E,F分别为线段BC,AD$的中点,则$\overrightarrow {EF}$的坐标为(B).
A.(2,3,3)
B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1)
D.(-5,2,-1)

答案： B 解析:设 $O$ 为坐标原点. 因为点 $E,F$ 分别为线段 $BC,AD$ 的中点,所以 $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}$,$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})$,$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$,所以 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD})=\frac{1}{2}[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]=\frac{1}{2}(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3)$.

3. 已知向量$a= (x,2,4),b= (3,y,12)$,且$a// b$,则$x+y$的值为(C).
A.1
B.6
C.7
D.15

答案： C 解析:因为 $\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,所以存在实数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$,所以 $\begin{cases}3=x\lambda,\\y=2\lambda,\\12=4\lambda,\end{cases}$ 解得 $\lambda=3$,$x=1$,$y=6$. 所以 $x+y=7$. 故选 C.

4. 若$a= (2,-2,-2),b= (2,0,4)$,则$sin\langle a,b\rangle $等于(A).
A.$\frac {\sqrt {210}}{15}$
B.$\frac {\sqrt {69}}{85}$
C.$\frac {4\sqrt {85}}{85}$
D.1

答案： A 解析:由题意,得 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|}=\frac{4+0-8}{2\sqrt{3}×2\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$,所以 $\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{15}}{15}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{210}}{15}$. 故选 A.

5. 若$\triangle ABC的顶点分别为A(1,-1,5),B(5,-1,2),C(1,3,-1)$,则$AC边上的中线BM$的长为(C).
A.3
B.$2\sqrt {3}$
C.$2\sqrt {5}$
D.5

答案： C 解析:因为 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(1,-1,5)$,$B(5,-1,2)$,$C(1,3,-1)$,所以线段 $AC$ 的中点为 $M(1,1,2)$,所以 $AC$ 边上的中线 $BM$ 的长为 $|BM|=\sqrt{(1-5)^{2}+[1-(-1)]^{2}+(2-2)^{2}}=2\sqrt{5}$. 故选 C.

6. (多选)下列各组向量共面的有(ABC).
A.$a= (1,2,3),b= (3,0,2),c= (4,2,5)$
B.$a= (1,2,-1),b= (0,2,-4),c= (0,-1,2)$
C.$a= (1,1,0),b= (1,0,1),c= (0,1,-1)$
D.$a= (1,1,1),b= (1,1,0),c= (1,0,1)$

答案： ABC 解析:A 中,设 $\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{b}+y\boldsymbol{c}$,$x,y\in\mathbf{R}$,则 $\begin{cases}1=3x+4y,\\2=0\cdot x+2y,\\3=2x+5y,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-1,\\y=1.\end{cases}$ 故存在实数 $x=-1$,$y=1$ 使得 $\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$,所以 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 共面. B 中,$\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{c}$,C 中,$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$,故 B,C 中三个向量均共面. D 中,设 $\boldsymbol{a}=x_{1}\boldsymbol{b}+y_{1}\boldsymbol{c}$,$x_{1},y_{1}\in\mathbf{R}$,则 $\begin{cases}x_{1}+y_{1}=1,\\x_{1}=1,\\y_{1}=1,\end{cases}$ 显然无解,故 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 不共面. 故选 ABC.

7. 如图2-2,已知正方体$ABCD-A'B'C'D'$的棱长为1,设$\overrightarrow {AB}= a,\overrightarrow {AD}= b,\overrightarrow {AA'}= c$,则$\overrightarrow {AC'}\cdot \overrightarrow {DB'}= $1;$cos\langle \overrightarrow {AC'},\overrightarrow {DB'}\rangle =$$\frac{1}{3}$.

答案： 1 $\frac{1}{3}$ 解析:$\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{DB'} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}^{2}=1$,$|\overrightarrow{AC'}|^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=3$,所以 $|\overrightarrow{AC'}|=\sqrt{3}$,$|\overrightarrow{DB'}|^{2}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=3$,所以 $|\overrightarrow{DB'}|=\sqrt{3}$,所以 $\cos\langle\overrightarrow{AC'},\overrightarrow{DB'}\rangle=\frac{\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{DB'}}{|\overrightarrow{AC'}|\cdot|\overrightarrow{DB'}|}=\frac{1}{3}$.

8. 已知点$A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x)$,则$|AB|$的最小值为$\frac{\sqrt{35}}{7}$.

答案： $\frac{\sqrt{35}}{7}$ 解析:因为点 $A(x,5-x,2x-1)$,$B(1,x+2,2-x)$,所以 $|AB|=\sqrt{(1-x)^{2}+(2x-3)^{2}+(3-3x)^{2}}=\sqrt{14x^{2}-32x+19}=\sqrt{14\left(x-\frac{8}{7}\right)^{2}+\frac{5}{7}}\geq\frac{\sqrt{35}}{7}$. 所以当 $x=\frac{8}{7}$ 时,$|AB|$ 取到最小值 $\frac{\sqrt{35}}{7}$.

9. 已知空间三点$A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5)$.
(1)求$\triangle ABC$的面积;
(2)求$\triangle ABC中AB$边上的高.

答案： 解:
(1)由已知,得 $\overrightarrow{AB}=(1,-3,2)$,$\overrightarrow{AC}=(2,0,-8)$,所以 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$,$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+0+64}=2\sqrt{17}$,$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14$,所以 $\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{-14}{\sqrt{14}×2\sqrt{17}}=-\frac{\sqrt{238}}{34}$,所以 $\sin\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{3\sqrt{102}}{34}$. 所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\sin\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{1}{2}×\sqrt{14}×2\sqrt{17}×\frac{3\sqrt{102}}{34}=3\sqrt{21}$.
(2)设 $AB$ 边上的高为 $CD$,则 $|\overrightarrow{CD}|=\frac{2S_{\triangle ABC}}{|\overrightarrow{AB}|}=3\sqrt{6}$,即 $\triangle ABC$ 中 $AB$ 边上的高为 $3\sqrt{6}$.