《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

【典例3】已知在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}= 1$,且$a_{2}是a_{1}和a_{3}-1$的等差中项.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)若数列$\{ b_{n}\}满足b_{n}= 2n-1+a_{n}(n∈N^{*})$,求数列$\{ b_{n}\}$的前n项和$S_{n}$.

答案：

解:
(1)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为q.

因为$a_{2}是a_{1}和a_{3}-1$的等差中项,所以$2a_{2}= a_{1}+a_{3}-1$,所以$2q= 1+q^{2}-1$,解得$q= 2或q= 0$(舍). 所以数列$\{ a_{n}\}的通项公式为a_{n}= 2^{n-1}$.

(2)由
(1)知$b_{n}= 2n-1+2^{n-1}$,所以$S_{n}= \frac {n(1+2n-1)}{2}+\frac {1\cdot (1-2^{n})}{1-2}= n^{2}+2^{n}-1$.

破题锦囊 求数列的前n项和$S_{n}$的方法

(1)公式法:直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对等比数列中q是否等于1的讨论.

(2)错位相减法:主要用于由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.

(3)分组转化法:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列再求和.

(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项.

(5)倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加.