《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

【典例2】设函数$f(x)= x(e^{x}-1)-ax^{2}$(其中$e$是自然对数的底数).
(1) 若$a= \frac{1}{2}$,求$f(x)$的单调区间;
(2) 当$x≥0$时,$f(x)≥0$,求实数$a$的取值范围.

答案：

解:
(1) 当$a= \frac{1}{2}$时,$f(x)= x(e^{x}-1)-\frac{1}{2}x^{2}$,

$f'(x)= e^{x}-1+xe^{x}-x= (e^{x}-1)(x + 1)$.

当$x∈(-∞,-1)$时,$f'(x)＞0$;

当$x∈(-1,0)$时,$f'(x)＜0$;

当$x∈(0,+∞)$时,$f'(x)＞0$,

故$f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)$,$(0,+∞)$,单调递减区间是$(-1,0)$.

(2) 因为$f(x)= x(e^{x}-1)-ax^{2}= x(e^{x}-1 - ax)$,

所以当$x≥0$时,

$f(x)≥0可化为e^{x}-1 - ax≥0$.

令$g(x)= e^{x}-1 - ax$,

则当$x≥0$时,$g(x)≥0$.

因为$g'(x)= e^{x}-a$,且当$x≥0$时,$e^{x}≥1$,

所以$g'(x)= e^{x}-a≥1 - a$.

令$1 - a≥0$,则$a≤1$,

即当$a≤1$时,$g'(x)≥0$,$g(x)在[0,+∞)$上是增函数,

所以当$x≥0$时,$g(x)≥g(0)= 0$,符合题意.

当$a＞1$时,令$e^{x}-a＜0$,$x＜\ln a$,

所以当$x∈(0,\ln a)$时,有$g'(x)＜0$成立,

则$g(x)在(0,\ln a)$上是减函数,

所以当$x∈(0,\ln a)$时,$g(x)＜g(0)= 0$,这与当$x≥0$时,$g(x)≥0$矛盾.

综上,实数$a的取值范围是(-∞,1]$.