《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是(C)。
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率

答案： 1.C 解析:A 中取到产品的件数,是一个常量,不是变量,B,D 也是一个常量,而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2,是随机变量.

2. 甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局。用ξ表示甲的得分,则“ξ = 3”表示(D)。
A.甲赢三局
B.甲赢一局,输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局,输两局或甲、乙平局三次

答案： 2.D 解析:因赢了得 3 分,平局得 1 分,输了得 0 分,故$\xi =3$有两种情况,即$3+0+0$或$1+1+1$,即甲赢一局,输两局或甲、乙平局三次.故选 D.

3. 已知随机变量X的分布列如表12 - 6(其中m为常数)所示,
表12 - 6
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | m | $\frac{4}{15}$ | $\frac{1}{3}$ |
则m的值为(B)。
A.$\frac{1}{15}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{2}{15}$
D.$\frac{4}{15}$

答案： 3.B 解析:由离散型随机变量的分布列的性质,得$\frac {1}{15}+\frac {2}{15}+m+\frac {4}{15}+\frac {1}{3}=1$,解得$m=\frac {1}{5}$.故选 B.

4. 若随机变量X的分布列如表12 - 7所示,
表12 - 7
| X | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.1 | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
则当P(X ＜ a) = 0.8时,实数a的取值范围是(C)。
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)

答案： 4.C 解析:由随机变量 X 的分布列知,$P(X＜-1)=0.1,P(X＜0)=0.3,P(X＜1)=0.5,P(X＜2)=0.8,$则当$P(X\lt a)=0.8$时,实数 a 的取值范围是$(1,2].$

5. 已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X = 0) = 3 - 4P(X = 1) = a,则a等于(C)。
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 5.C 解析:因为 X 服从两点分布,所以$P(X=0)+P(X=1)=1.$因为$P(X=0)=3-4P(X=1)=a,$所以$P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],$所以$P(X=0)=\frac {1}{3}$,所以$a=\frac {1}{3}.$

6. 某县共管辖15个小镇,其中有9个小镇交通比较便利,有6个小镇交通不太便利。现从中任意选取10个小镇,若其中有X个小镇交通不太便利,则下列概率等于$\frac{C_{6}^{4}C_{9}^{6}}{C_{15}^{10}}$的是(A)。
A.P(X = 4)
B.P(X ≤ 4)
C.P(X = 6)
D.P(X ≤ 6)

答案： 6.A 解析:由题意得 X 服从超几何分布,因为该县管辖的 15 个小镇中有 6 个小镇交通不太便利,所以从这6 个交通不太便利的小镇中选取4 个,其概率$P(X=4)=\frac {C_{6}^{4}C_{9}^{6}}{C_{15}^{10}}$.故选 A.

7. (多选)已知随机变量X的分布列为P(X = n) = $\frac{a}{(n + 1)(n + 2)}$(n = 0,1,2),其中a是常数,则(ABC)。
A.P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
B.a = $\frac{4}{3}$
C.P(0 ≤ X ＜ 2) = $\frac{8}{9}$
D.a = $\frac{1}{3}$

答案： 7.ABC 解析:根据随机变量 X 的分布列为$P(X=n)=\frac {a}{(n+1)(n+2)}(n=0,1,2),$则有$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\frac {a}{2}+\frac {a}{6}+\frac {a}{12}=1,$解得$a=\frac {4}{3}$,则$P(0≤X＜2)=P(X=0)+P(X=1)=\frac {2}{3}+\frac {2}{9}=\frac {8}{9}.$