《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

【典例1】一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球、2个红球,从中摸出2个球。
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数,求X的分布列。

答案：

解：一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球、2个红球,从中摸出2个球,有C_5^2 = 10(种)情况。

(1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”为事件A,则P(A) = $\frac{C_{3}^{1} \cdot C_{2}^{1}}{10}$ = $\frac{3}{5}$,即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为$\frac{3}{5}$。

(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数,则X的所有可能取值为0,1,2。

P(X = 0) = $\frac{C_{2}^{2}}{10}$ = $\frac{1}{10}$,

P(X = 1) = $\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{10}$ = $\frac{3}{5}$,

P(X = 2) = $\frac{C_{3}^{2}}{10}$ = $\frac{3}{10}$,

故X的分布列如表12 - 4所示。

表12 - 4

| X | 0 | 1 | 2 |

| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{3}{10}$ |

【典例2】袋中有4个红球、3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中随机抽取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球。
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率。

答案：

解：
(1)从袋中任取4个球所有可能的情况为1个红球、3个黑球,2个红球、2个黑球,3个红球、1个黑球,4个红球,共四种情况,得分分别为5分、6分、7分、8分,故得分X的所有可能取值为5,6,7,8。

P(X = 5) = $\frac{C_{4}^{1}C_{3}^{3}}{C_{7}^{4}}$ = $\frac{4}{35}$,

P(X = 6) = $\frac{C_{4}^{2}C_{3}^{2}}{C_{7}^{4}}$ = $\frac{18}{35}$,

P(X = 7) = $\frac{C_{4}^{3}C_{3}^{1}}{C_{7}^{4}}$ = $\frac{12}{35}$,

P(X = 8) = $\frac{C_{4}^{4}}{C_{7}^{4}}$ = $\frac{1}{35}$,

故所求分布列如表12 - 5所示。

表12 - 5

| X | 5 | 6 | 7 | 8 |

| P | $\frac{4}{35}$ | $\frac{18}{35}$ | $\frac{12}{35}$ | $\frac{1}{35}$ |

(2)根据随机变量X的分布列可以得到得分大于6分的概率为P(X ＞ 6) = P(X = 7) + P(X = 8) = $\frac{12}{35}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{13}{35}$。