《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 若平面 $ \alpha $,$ \beta $ 的法向量分别为 $ \boldsymbol{a} = (- 1, 2, 4) $,$ \boldsymbol{b} = (x, - 1, - 2) $,并且 $ \alpha \perp \beta $,则 $ x $ 的值为(B)。
A.10
B.- 10
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ - \frac{1}{2} $

答案： B 解析:因为$\alpha \perp \beta$,所以它们的法向量也互相垂直,所以$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (-1,2,4) \cdot (x,-1,-2) = 0$,即$-x - 2 - 8 = 0$,解得$x = -10.$

2. 已知直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ \boldsymbol{n} = (2, - 3, 1) $,若直线 $ l \perp $ 平面 $ \alpha $,则下列向量中能作为平面 $ \alpha $ 的法向量的是(D)。
A.$ (0, - 3, 1) $
B.$ (2, 0, 1) $
C.$ (- 2, - 3, 1) $
D.$ (- 2, 3, - 1) $

答案： D 解析:问题转化为求与$\boldsymbol{n}$共线的⼀个向量.$\boldsymbol{n} = (2,-3,1) = -(-2,3,-1)$.故选D.

3. 已知直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直,直线 $ l $ 的一个方向向量为 $ \boldsymbol{u} = (1, - 3, z) $,以向量 $ \boldsymbol{v} = (3, - 2, 1) $ 为方向向量的直线 $ m $ 与平面 $ \alpha $ 平行,则 $ z $ 等于(C)。
A.3
B.6
C.- 9
D.9

答案： C 解析:因为$l \perp \alpha$,m与平⾯$\alpha$平⾏,所以$\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{v}$,即$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = 0$,所以$1 × 3 + (-3) × (-2) + z × 1 = 0$,所以$z = -9$.故选C.

4. 如图 3 - 8,在直二面角 $ D - AB - E $ 中,四边形 $ ABCD $ 是边长为 2 的正方形,$ \triangle AEB $ 是等腰直角三角形,其中 $ \angle AEB = 90^{\circ} $,则点 $ D $ 到平面 $ ACE $ 的距离为( )。


A.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ \frac{2\sqrt{3}}{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{3} $

答案：
B 解析:取AB的中点O,建⽴如答图3 - 1所示的空间直⾓坐标系,则$A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2).$

所以$\overrightarrow {AD}=(0,0,2),\overrightarrow {AE}=(1,1,0),\overrightarrow {AC}=(0,2,2).$
设平⾯ACE的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0 \\\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{cases}$,即$\begin{cases}x + y = 0 \\2y + 2z = 0\end{cases}$,令$y = 1$,则$\boldsymbol{n} = (-1,1,-1).$
故点D到平⾯ACE的距离$d=\frac {|\overrightarrow {AD}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=|\frac {-2}{\sqrt {3}}|=\frac {2\sqrt {3}}{3}$.故选B.

5. 正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,若 $ E $ 是 $ AD $ 的中点,则异面直线 $ A_1B $ 与 $ C_1E $ 所成角的大小是( )。

A.$ \frac{\pi}{6} $
B.$ \frac{\pi}{4} $
C.$ \frac{\pi}{3} $
D.$ \frac{\pi}{2} $

答案：
D 解析:如答图3 - 2,建⽴空间直⾓坐标系,设正⽅体的棱⾧为2,则$A_{1}(0,0,2),B(2,0,0),C_{1}(2,2,2),E(0,1,0),$

则$\overrightarrow {A_{1}B}=(2,0,-2),\overrightarrow {C_{1}E}=(-2,-1,-2),$
因为$\overrightarrow {A_{1}B}\cdot \overrightarrow {C_{1}E}=-4 + 0 + 4 = 0$,所以$\overrightarrow {A_{1}B}⊥\overrightarrow {C_{1}E}$,即异⾯直线$A_{1}B$与$C_{1}E$所成⾓为$\frac {π}{2}.$

6. (多选) 四边形 $ ABCD $ 为菱形,$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $,则下列各式成立的有( ABC)。
A.$ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 $
B.$ \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 $
C.$ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 $
D.$ \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 $

答案： ABC 解析:$PA⊥$平⾯ABCD,则$PA⊥AB$,所以$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$,故A成⽴;在菱形ABCD中,$AC⊥BD$,⼜$PA⊥BD,AC\cap AP = A$,所以$BD⊥$平⾯PAC,所以$BD⊥PC$,所以$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{PC} = 0$,故B成⽴;$PA⊥$平⾯ABCD,则$PA⊥CD$,所以$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$,故C成⽴;D不成⽴.故选ABC.

7. 在空间直角坐标系中,已知三点 $ A(1, - 2, - 1) $,$ B(0, - 3, 1) $,$ C(2, - 2, 1) $,若向量 $ \boldsymbol{n} $ 与平面 $ ABC $ 垂直,且 $ |\boldsymbol{n}| = \sqrt{21} $,则 $ \boldsymbol{n} $ 的坐标为$(2,-4,-1)$或$(-2,4,1)$。

答案： 7.$(2,-4,-1)$或$(-2,4,1)$ 解析:由$A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),$
可得$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,2),\overrightarrow{AC}=(1,0,2).$
设$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,根据题意,得$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0 \\\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0 \\|\boldsymbol{n}|=\sqrt{21}\end{cases}$,即$\begin{cases}-x - y + 2z = 0 \\x + 2z = 0 \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=21\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x = 2 \\y = -4 \\z = -1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2 \\y = 4 \\z = 1\end{cases}$,所以$\boldsymbol{n}=(2,-4,-1)$或$(-2,4,1).$

8. 已知直线 $ a $,$ b $ 的方向向量分别为 $ \boldsymbol{m} = (4, k, k - 1) $ 和 $ \boldsymbol{n} = \left( k, k + 3, \frac{3}{2} \right) $,若 $ a // b $,则 $ k = $-2。

答案： 8.$-2$ 解析:因为$a// b$,所以可设$\boldsymbol{m} = \lambda \boldsymbol{n}(\lambda \in \mathbf{R})$,所以$\begin{cases}4 = \lambda k \\k = \lambda(k + 3) \\k - 1 = \frac{3}{2}\lambda\end{cases}$,解得$k = -2.$

9. 已知点 $ M(a, 0, a)(a ＞ 0) $,平面 $ \pi $ 过原点 $ O $,且垂直于向量 $ \boldsymbol{n} = \left( - \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a \right) $,则点 $ M $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 为$\frac {\sqrt {6}}{6}a$。

答案： 9.$\frac {\sqrt {6}}{6}a$ 解析:$\overrightarrow {OM}=(a,0,a)$,则M到平⾯$\pi$的距离$d=\frac {|\overrightarrow {OM}\cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac {\sqrt {6}}{6}a.$

10. 如图 3 - 9,已知正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 4,$ E $ 为平面 $ A_1D_1DA $ 的中心,$ CF = 3FC_1 $,$ AH = 3HD $。
(1) 求异面直线 $ EB_1 $ 与 $ HF $ 之间的距离；
(2) 求二面角 $ H - B_1E - A_1 $ 的平面角的余弦值。

答案： 10.解:以$D_{1}$为原点,$\overrightarrow {D_{1}A_{1}},\overrightarrow {D_{1}C_{1}},\overrightarrow {D_{1}D}$的⽅向分别为x轴、y轴、z轴的正⽅向,建⽴空间直⾓坐标系$D_{1}x_{1}y_{1}z_{1}$(图略),则$E(2,0,2),B_{1}(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1),A_{1}(4,0,0).$
(1)$\overrightarrow {EB_{1}}=(2,4,-2),\overrightarrow {HF}=(-1,4,-3),\overrightarrow {EH}=(-1,0,2).$
设$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,且$\boldsymbol{n}⊥\overrightarrow {EB_{1}},\boldsymbol{n}⊥\overrightarrow {HF}$,则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EB_{1}} = 0 \\\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{HF} = 0\end{cases}$,即$\begin{cases}2x + 4y - 2z = 0 \\-x + 4y - 3z = 0\end{cases}$,取$x = 1$,则$z = -3,y = -2$,则$\boldsymbol{n}=(1,-2,-3),$
异⾯直线$EB_{1}$与HF之间の距离为$\frac {|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EH}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac {|-1 + 0 - 6|}{\sqrt {14}}=\frac {\sqrt {14}}{2}.$
(2)$\overrightarrow {EB_{1}}=(2,4,-2),\overrightarrow {EA_{1}}=(2,0,-2),\overrightarrow {EH}=(-1,0,2),$
设平⾯$HB_{1}E$的法向量为$\boldsymbol{m}_{1}=(x',y',z')$,则$\begin{cases}\boldsymbol{m}_{1}\cdot \overrightarrow{EH} = 0 \\\boldsymbol{m}_{1}\cdot \overrightarrow{EB_{1}} = 0\end{cases}$,即$\begin{cases}-x' + 2z' = 0 \\2x' + 4y' - 2z' = 0\end{cases}$,取$x' = 2$,则$y' = -\frac {1}{2},z' = 1.$
所以$\boldsymbol{m}_{1}=(2,-\frac {1}{2},1).$
设平⾯$A_{1}B_{1}E$的法向量为$\boldsymbol{m}_{2}=(x_{1},y_{1},z_{1})$,则$\begin{cases}\boldsymbol{m}_{2}\cdot \overrightarrow{EB_{1}} = 0 \\\boldsymbol{m}_{2}\cdot \overrightarrow{EA_{1}} = 0\end{cases}$,即$\begin{cases}2x_{1} + 4y_{1} - 2z_{1} = 0 \\2x_{1} - 2z_{1} = 0\end{cases}$,取$x_{1} = 1$,则$y_{1} = 0,z_{1} = 1$,则$\boldsymbol{m}_{2}=(1,0,1),$
所以$\cos\langle \boldsymbol{m}_{1},\boldsymbol{m}_{2}\rangle =\frac {\boldsymbol{m}_{1}\cdot \boldsymbol{m}_{2}}{|\boldsymbol{m}_{1}||\boldsymbol{m}_{2}|}=\frac {\sqrt {42}}{7}.$
因为⼆⾯⾓$H - B_{1}E - A_{1}$为钝⼆⾯⾓,所以⼆⾯⾓$H - B_{1}E - A_{1}$的平⾯⾓的余弦值为$-\frac {\sqrt {42}}{7}.$