《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 条件概率
一般地,设 $ A,B $ 为两个随机事件,且 $ P(A)＞0 $,称 $ P(B|A)= $ $\frac{P(AB)}{P(A)}$为在事件 $ A $ 发生的条件下,事件 $ B $ 发生的条件概率,简称条件概率。一般把 $ P(B|A) $ 读作A 发生的条件下 B 发生的概率。
如果事件 $ A $ 发生与否,会影响到事件 $ B $ 的发生,显然知道了 $ A $ 的发生,研究事件 $ B $ 时,基本事件发生变化,从而 $ B $ 发生的概率也相应地发生变化,这就是条件概率要研究的问题。

答案： $\frac{P(AB)}{P(A)}$ A 发生的条件下 B 发生的概率 条件概率

3. 相互独立事件概念
(1) 设 $ A,B $ 为两个事件,若事件 $ A $ 是否发生对事件 $ B $ 发生的概率没有影响,即$P(B|A)=P(B)$,则称两个事件 $ A,B $ 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件。
(2) 对于 $ n $ 个事件 $ A_1,A_2,…,A_n $,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称 $ n $ 个事件 $ A_1,A_2,…,A_n $ 相互独立。

答案：
(1)$P(B|A)=P(B)$ 相互独立事件
(2)其他事件是否发生

4. 相互独立事件的性质
(1) 如果事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立,那么事件 $ A $ 与 $\overline{B}$,$ \overline{A} $ 与 B,$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也都相互独立。
(2) 若事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立,则 $ P(A|B)= $ $P(A)$,$ P(A \cap B)= $ $P(A)× P(B)$。
(3) 若事件 $ A_1,A_2,…,A_n $ 相互独立,则这 $ n $ 个事件都发生的概率,等于 每个事件发生的概率积,即 $ P(A_1 \cap A_2 …\cap \cap A_n)= P(A_1) × P(A_2) × … × P(A_n) $。
并且上式中任意多个事件 $ A_i $ 换成其对立事件后等式仍成立。

答案：
(1)$\overline{B}$ B $\overline{A}$ $\overline{B}$
(2)$P(A)$ $P(A)× P(B)$
(3)每个事件发生的概率积

5. 全概率公式
一般地,设 $ A_1,A_2,…,A_n $ 是一组两两互斥的事件,$ A_1 \cup A_2 …\cup \cup A_n= \Omega $,且 $ P(A_i)＞0 $,$ i= 1,2,…,n $,则对任意的事件 $ B \subseteq \Omega $,有 $ P(B)= $ $\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$。称这样的公式为全概率公式。

答案： $\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$

若将事件 $ A $ 发生的次数设为 $ X $,发生的概率设为 $ p $,不发生的概率为 $ q= 1-p $,那么在 $ n $ 重伯努利试验中,事件 $ A $ 恰好发生 $ k $ 次的概率是 $ P(X= k)= $ $\text{C}_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$($ k= 0,1,2,…,n $),于是得到 $ X $ 的分布列如表 13 - 1 所示,
表 13 - 1
| $ X $ | $ 0 $ | $ 1 $ | …$ $ | $ k $ | …$ $ | $ n $ |
| $ P $ | $ \mathrm{C}_n^0 p^0 q^n $ | $ \mathrm{C}_n^1 p^1 q^{n - 1} $ | …$ $ | $ \mathrm{C}_n^k p^k q^{n - k} $ | …$ $ | $ \mathrm{C}_n^n p^n q^0 $ |
由于表中第二行恰好是二项展开式 $ (q + p)^n= \mathrm{C}_n^0 p^0 q^n+\mathrm{C}_n^1 p^1 q^{n - 1}+…+\mathrm{C}_n^k p^k q^{n - k}+…+\mathrm{C}_n^n p^n q^0 $ 各对应项的值,称这样的离散型随机变量 $ X $ 服从参数为 $ n,p $ 的二项分布,记作 $X\sim B(n,p)$。

答案： $\text{C}_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$ $X\sim B(n,p)$