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2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版
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【典例2】已知$(x-\frac{1}{2\sqrt{x}})^{n}(n∈N^{*})$的展开式中第7项是常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
答案：
(2)由
(1)知$n = 9$,所以二项式系数最大的项为$T_{5}与T_{6}$,
解:
(1)其展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{n}^{r}x^{n - r}\cdot(-\frac{1}{2\sqrt{x}})^{r}= C_{n}^{r}(-\frac{1}{2})^{r}x^{n-\frac{3r}{2}}(r = 0,1,2,…,n)$.
(1)其展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{n}^{r}x^{n - r}\cdot(-\frac{1}{2\sqrt{x}})^{r}= C_{n}^{r}(-\frac{1}{2})^{r}x^{n-\frac{3r}{2}}(r = 0,1,2,…,n)$.
因为第7项为常数项,
且$T_{7} = C_{n}^{6}\cdot(-\frac{1}{2})^{6}x^{n - 9}$,
所以$n - 9 = 0$,解得$n = 9$.
(2)由
(1)知$n = 9$,所以二项式系数最大的项为$T_{5}与T_{6}$,
且$T_{5} = C_{9}^{4}(-\frac{1}{2})^{4}x^{3}= \frac{63}{8}x^{3}$,
$T_{6} = C_{9}^{5}(-\frac{1}{2})^{5}x^{\frac{3}{2}}= -\frac{63}{16}x^{\frac{3}{2}}$.
1. 若$C_{6}^{m}= C_{6}^{2}$,则m等于(
A.2
B.2或4
C.4
D.0
2或4
).A.2
B.2或4
C.4
D.0
答案：
1.B 解析:由$C_{m}^{m}=C_{6}^{2}$,得$m=2$或$6-m=2$,所以$m=2$或4.
2. 若$A_{m}^{3}= 6C_{m}^{4}$,则m等于(
A.9
B.8
C.7
D.6
C
).A.9
B.8
C.7
D.6
答案：
2.C 解析:因为$A_{m}^{3}=6C_{m}^{4}$,所以$m(m-1)(m-2)=6×\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{4×3×2×1}$,即$1=\frac{m-3}{4}$,解得$m=7$.
3. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球,从中取2个球,则这2个球同色的不同取法有(
A.27种
B.24种
C.21种
D.18种
C
).A.27种
B.24种
C.21种
D.18种
答案：
3.C 解析:分两类,一类是2个白球,有$C_{6}^{2}=15$(种)取法,另一类是2个黑球,有$C_{4}^{2}=6$(种)取法,所以取法共有$15+6=21$(种).
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