《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

6. 已知点$A(1,3),B(3,1),C(-1,0)$,则$\triangle ABC$的面积等于(C).
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C　解析:设$AB$边上的高为$h$，则$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|AB| \cdot h$，$|AB| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = 2\sqrt{2}$，$AB$边上的高$h$就是点$C$到直线$AB$的距离，$AB$边所在的直线方程为$\frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 1}{3 - 1}$，即$x + y - 4 = 0$.点$C$到直线$x + y - 4 = 0$的距离为$\frac{|-1 + 0 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$，因此，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × \frac{5}{\sqrt{2}} = 5$.

7. (多选)下列四个结论正确的有(BC).
A.方程$k= \frac{y - 2}{x + 1}与方程y - 2 = k(x + 1)$可表示同一条直线
B.直线l过点$P(x_{1},y_{1})$,倾斜角为$\frac{\pi}{2}$,则其方程为$x = x_{1}$
C.直线l过点$P(x_{1},y_{1})$,斜率为0,则其方程为$y = y_{1}$
D.所有直线都有点斜式和斜截式方程

答案： BC　解析:A，D不正确，B，C正确.

8. 若无论m为何值,直线$l:(2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0$恒过一定点P,则点P的坐标为______(3,1).

答案： (3,1)　解析:(特殊值法)令$m = -1$，得$-x + 3 = 0$；令$m = 0$，得$x + y - 4 = 0$.联立$\begin{cases}x = 3\\x + y - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$.故点$P$的坐标为$(3,1)$.

9. 设直线l经过点$(-1,1)$,则当点$(2,-1)$到直线l的距离最大时,直线l的方程为$3x - 2y + 5 = 0$.

答案： $3x - 2y + 5 = 0$　解析:数形结合(图略)可知，当直线$l$与过两点的直线垂直时，点$(2,-1)$到直线$l$的距离最大，因此所求直线的方程为$y - 1 = -\frac{-2 - (-1)}{-1 - 1} \cdot (x + 1)$，即$3x - 2y + 5 = 0$.

10. 已知点M是直线$l:\sqrt{3}x - y + 3 = 0$与x轴的交点,将直线l绕点M旋转$30^{\circ}得到直线l'$,求直线$l'$的方程.

答案： 解:在$\sqrt{3}x - y + 3 = 0$中，令$y = 0$，得$x = -\sqrt{3}$，即$M(-\sqrt{3},0)$.因为直线$l$的斜率$k = \sqrt{3}$，所以其倾斜角$\theta = 60^{\circ}$.若将直线$l$绕点$M$按逆时针方向旋转$30^{\circ}$得到直线$l'$，则直线$l'$的倾斜角为$60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$，此时斜率不存在，故其方程为$x = -\sqrt{3}$.若将直线$l$绕点$M$按顺时针方向旋转$30^{\circ}$得到直线$l'$，则直线$l'$的倾斜角为$60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$，此时斜率为$\tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，故其方程为$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + \sqrt{3})$，即$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$.综上，直线$l'$的方程为$x + \sqrt{3} = 0$或$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$.

11. 在平面直角坐标系中,已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为$A(0,0),B(3,\sqrt{3}),C(4,0)$.
(1)求边CD所在直线的方程;
(2)证明平行四边形ABCD为矩形,并求其面积.

答案：
(1)解:易得边$AB$所在直线的斜率$k_{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$CD// AB$，所以$k_{CD} = k_{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.又因为$C(4,0)$，所以边$CD$所在直线的方程为$y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x -4)$，即$x - \sqrt{3}y - 4 = 0$.
(2)证明:易得边$BC$所在直线的斜率$k_{BC} = -\sqrt{3}$，所以$k_{AB} \cdot k_{BC} = -1$，所以$AB\perp BC$，所以平行四边形$ABCD$为矩形.可求得$|AB| = 2\sqrt{3}$，$|BC| = 2$，故矩形$ABCD$的面积为$|AB| \cdot |BC| = 4\sqrt{3}$.