《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

答案： m+n

2. 分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有$m_{1}$种不同的方法,在第2类方案中有$m_{2}$种不同的方法……在第n类方案中有$m_{n}$种不同的方法,那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+mₙ种不同的方法。

答案： m₁+m₂+…+mₙ

3. 分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

答案： m×n

4. 分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要n个步骤,做第1步有$m_{1}$种不同的方法,做第2步有$m_{2}$种不同的方法……做第n步有$m_{n}$种不同的方法,那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×mₙ种不同的方法。

答案： m₁×m₂×…×mₙ

|排列|从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列|
|排列数|从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号$A_{n}^{m}$表示|
|排列数公式|$A_{n}^{m}$=n(n-1)…(n-m+1),这里n,m∈N*,并且m≤n|

答案： 并按照一定的顺序排成一列 所有不同排列的个数 n(n-1)…(n-m+1)

6. 全排列、阶乘的概念及相关性质
(1)全排列：n个不同的元素全部取出的一个排列。
(2)n的阶乘：正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n！表示。
(3)阶乘的相关应用：
①规定：0！= 1。
②排列数公式的另一种形式：$A_{n}^{m}= \frac{n!}{(n - m)!}$。
③$A_{n}^{m}$=n$A_{n - 1}^{m - 1}$；$A_{n}^{m}$=m$A_{n - 1}^{m - 1}+A_{n - 1}^{m}$。

答案：
(1)全部取出
(2)连乘积
(3)③n m

【典例1】某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会。
(1)若学校分配给该班1名代表名额,则有多少种不同的选法？
(2)若学校分配给该班2名代表名额,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法？

答案：

解：
(1)选出1名代表,可以选男生,也可以选女生,因此完成“选1名代表”这件事分两类：第一类,从男生中选出1名代表,有28种不同选法；第二类,从女生中选出1名代表,有20种不同选法。根据分类加法计数原理,共有28+20= 48(种)不同的选法。

(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事,需分两步完成：第一步,选1名男生代表,有28种不同选法；第二步,选1名女生代表,有20种不同选法。根据分步乘法计数原理,共有28×20= 560(种)不同的选法。