《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

10. 等比中项
(1)如果三个数x,G,y组成等比数列,那么G叫做x和y的等比中项.
(2)如果G是x和y的等比中项,那么$G^{2}=xy$,即$G=\pm \sqrt{xy}$.

答案：
(1)等比数列
(2)$G^{2}=xy$ $G=\pm \sqrt{xy}$

11. 等比数列的前n项和公式
$S_{n}= $$\left\{\begin{array}{l} na_{1}(q=1),\\ \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1) \end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l} na_{1}(q=1),\\ \frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}(q\neq 1) \end{array}\right.$.
注意:在等比数列的前n项和公式$S_{n}= \frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q≠1)$中,如果令$A= \frac {a_{1}}{q-1}$,那么$S_{n}= $$Aq^{n}-A$.

答案： $\left\{\begin{array}{l} na_{1}(q=1),\\ \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1) \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} na_{1}(q=1),\\ \frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q}(q\neq 1) \end{array}\right.$ $Aq^{n}-A$

【典例1】数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n},a_{1}= 1,S_{n+1}= 4a_{n}+2(n∈N^{*})$.
(1)设$b_{n}= a_{n+1}-2a_{n}$,求证:$\{ b_{n}\}$是等比数列;
(2)设$c_{n}= \frac {a_{n}}{2^{n-2}}$,求证:$\{ c_{n}\}$是等差数列.

答案：

证明:
(1)由题意,得$a_{n+2}= S_{n+2}-S_{n+1}= 4a_{n+1}+2-4a_{n}-2= 4a_{n+1}-4a_{n}$.

$\frac {b_{n+1}}{b_{n}}= \frac {a_{n+2}-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_{n}}= \frac {4a_{n+1}-4a_{n}-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_{n}}= \frac {2a_{n+1}-4a_{n}}{a_{n+1}-2a_{n}}= 2$.

因为$S_{2}= a_{1}+a_{2}= 4a_{1}+2$,所以$a_{2}= 5$.

所以$b_{1}= a_{2}-2a_{1}= 3$.

所以数列$\{ b_{n}\}$是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由
(1)知$b_{n}= 3\cdot 2^{n-1}= a_{n+1}-2a_{n}$,

所以$\frac {a_{n+1}}{2^{n-1}}-\frac {a_{n}}{2^{n-2}}= 3$.

所以$c_{n+1}-c_{n}= 3$,且$c_{1}= \frac {a_{1}}{2^{-1}}= 2$,

所以数列$\{ c_{n}\}$是等差数列,且公差为3,首项为2.

【典例2】(1)已知$\{ a_{n}\}$为等差数列,$a_{1}+a_{3}+a_{5}= 105,a_{2}+a_{4}+a_{6}= 99,S_{n}表示数列\{ a_{n}\}$的前n项和,则使得$S_{n}$取得最大值的n是(B).
A. 21
B. 20
C. 19
D. 18
(2)记等比数列$\{ a_{n}\}$的前n项积为$T_{n}(n∈N^{*})$,已知$a_{m-1}a_{m+1}-2a_{m}= 0$,且$T_{2m-1}= 128$,则$m= $4.

答案：

解析:
(1)由$a_{1}+a_{3}+a_{5}= 105$,

得$3a_{3}= 105$,

所以$a_{3}= 35$.

同理,得$a_{4}= 33$,

所以数列$\{ a_{n}\}的公差d= a_{4}-a_{3}= -2$,

$a_{n}= a_{4}+(n-4)×(-2)= 41-2n$.

由$\left\{\begin{array}{l} a_{n}≥0,\\ a_{n+1}＜0,\end{array} \right. 得n= 20$.

所以使$S_{n}$取到最大值的n是20.

(2)因为$\{ a_{n}\}$为等比数列,所以$a_{m-1}a_{m+1}= a_{m}^{2}$.

又因为$a_{m-1}a_{m+1}-2a_{m}= 0$,所以$a_{m}= 2$.由等比数列的性质可知前$(2m-1)项的积T_{2m-1}= a_{m}^{2m-1}$,则$2^{2m-1}= 128$,故$m= 4$.

答案:
(1)B
(2)4