《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果,这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验。

答案： 1.
(1)重复
(2)明确可知
(3)一个

3. 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,称为离散型随机变量。

答案： 3.可能取值为有限个或可以一一列举

4. 离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地,设离散型随机变量X的可能取值为$x_1,x_2,…,xᵢ,…,xₙ,$称X取每一个值xᵢ的概率P(X = xᵢ) = pᵢ(i = 1,2,…,n)为X的概率分布列,简称分布列。以表格的形式表示如表12 - 1：
表12 - 1
| X |$ x_1 $|$ x_2 $| … | xᵢ | … | xₙ |
| P |$ p_1 $|$ p_2 $| … | pᵢ | … | pₙ |
(2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格、解析式、图形来表示。
(3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pᵢ ≥ 0,i = 1,2,…,n；
$②p_1 + p_2 + … + pₙ = $1。

答案： 4.
(2)表格 解析式 图形
(3)①0 ②1

5. 两个特殊的分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列如表12 - 2所示,
表12 - 2
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - p | p |
这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布。而称p = P(X = 1)为成功概率。
(2)超几何分布列
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品。从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X = k) = $\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$,k = m,m + 1,…,r。其中n,N,M ∈ N*,M ≤ N,n ≤ N,m = max{0,n - N + M},r = min{n,M}。用表格表示如表12 - 3。
表12 - 3
| X | 0 | 1 | … | m |
| P | $\frac{C_{M}^{0}C_{N - M}^{n - 0}}{C_{N}^{n}}$ | $\frac{C_{M}^{1}C_{N - M}^{n - 1}}{C_{N}^{n}}$ | … | $\frac{C_{M}^{m} \cdot C_{N - M}^{n - m}}{C_{N}^{n}}$ |
如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布。
(3)公式P(X = k) = $\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$的推导
由于事件{X = k}表示从含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有k件次品这一随机事件,因此它的基本事件为从N件产品中任取n件。由于任意一个基本事件是等可能出现的,并且它有$C_{N}^{n}$个基本事件,而其中恰有k件次品,则必有(n - k)件正品,因此事件{X = k}中含有$C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}$个基本事件,由古典概型的概率公式可知P(X = k) = $\frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$。

答案： 5.
(1)两点分布 成功概率
(2)超几何分布
(3)$C_{N}^{n}$ $C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}$