《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

3. 圆$M:x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$的面积为(A)。
A.$5\pi$
B.$4\pi$
C.$3\pi$
D.$2\pi$

答案： A 解析:圆 $M:x^{2}+y^{2}-4x+2y=0$,圆的半径 $r=\frac{1}{2}×\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}-4×0}=\sqrt{5}$,所以圆的面积为 $\pi r^{2}=5\pi$,故选 A.

4. 已知圆$C经过O(0,0)$,$A(4,3)$,$B(1,-3)$三点,则圆$C$的方程为(D)。
A.$x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$
B.$x^2 + y^2 - x + 3y = 0$
C.$x^2 + y^2 - 5x - 5 = 0$
D.$x^2 + y^2 - 7x + y = 0$

答案： D 解析:设圆 C 的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ ($D^{2}+E^{2}-4F＞0$).
因为圆 C 经过 $O(0,0)$,$A(4,3)$,$B(1,-3)$ 三点,所以 $\begin{cases}F=0,\\16+9+4D+3E+F=0,\\1+9+D-3E+F=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}D=-7,\\E=1,\\F=0,\end{cases}$ 即圆 C 的方程为 $x^{2}+y^{2}-7x+y=0$.

5. 直线$2x - y - 1 = 0被圆(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 9$截得的弦长为(B)。
A.$2\sqrt{5}$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： B 解析:圆心 $(2,-2)$ 到直线 $2x-y-1=0$ 的距离 $d=\frac{|4+2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$,又圆的半径 $r=3$,所以弦长为 $2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=4$. 故选 B.

6. 若直线$x - y = 2被圆(x - a)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2\sqrt{2}$,则实数$a$的值为(A)。
A.$0或4$
B.$0或3$
C.$-2或6$
D.$-1或\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
本题主要考查圆的弦长问题。
首先，根据圆的方程 $(x - a)^{2} + y^{2} = 4$，我们可以确定圆心为 $O(a, 0)$ 和半径 $r = 2$。
其次，已知直线 $x - y = 2$ 被圆截得的弦长为 $2\sqrt{2}$。
根据弦长公式，弦长 $L = 2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$，其中 $d$ 是圆心到直线的距离。
将已知的弦长 $L = 2\sqrt{2}$ 和半径 $r = 2$ 代入弦长公式，得到：
$2\sqrt{2} = 2\sqrt{2^{2} - d^{2}}$
$\Rightarrow 2\sqrt{2} = 2\sqrt{4 - d^{2}}$
$\Rightarrow \sqrt{2} = \sqrt{4 - d^{2}}$
$\Rightarrow 2 = 4 - d^{2}$
$\Rightarrow d^{2} = 2$
$\Rightarrow d = \sqrt{2}$
接下来，利用点到直线的距离公式 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，其中 $Ax + By + C = 0$ 是直线方程，$(x_0, y_0)$ 是点的坐标。
将直线 $x - y - 2 = 0$ 和点 $O(a, 0)$ 代入距离公式，得到：
$\sqrt{2} = \frac{|a - 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{2} = \frac{|a - 2|}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow 2 = |a - 2|$
$\Rightarrow a - 2 = \pm 2$
$\Rightarrow a = 0 \text{ 或 } a = 4$
【答案】：
A. $0 \text{或} 4$

7. 已知圆$C_1:x^2 + y^2 - 4 = 0与圆C_2:x^2 + y^2 - 4x + 4y - 12 = 0相交于A$,$B$两点,则两圆的公共弦$AB$的长度为(A)。
A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案： A 解析:圆 $C_{1}:x^{2}+y^{2}-4=0$ 与圆 $C_{2}:x^{2}+y^{2}-4x+4y-12=0$ 的方程相减,得 AB 所在直线的方程为 $x-y+2=0$. 因为圆 $C_{1}:x^{2}+y^{2}-4=0$ 的圆心为 $C_{1}(0,0)$,半径 $r=2$,所以圆心 $(0,0)$ 到直线 $AB:x-y+2=0$ 的距离 $d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$,则 $|AB|=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$. 故选 A.

8. (多选)已知直线$x - 2y + a = 0与圆O:x^2 + y^2 = 2相交于A$,$B$两点($O$为坐标原点),且$\triangle AOB$为等腰直角三角形,则实数$a$的值为(BD)。
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{5}$
C.$-\sqrt{6}$
D.$-\sqrt{5}$

答案： BD 解析:因为直线 $x-2y+a=0$ 与圆 $O:x^{2}+y^{2}=2$ 相交于 A,B 两点,且 $\triangle AOB$ 为等腰直角三角形,所以 O 到直线 AB 的距离为 1. 由点到直线的距离公式可得 $\frac{|a|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=1$,所以 $a=\pm\sqrt{5}$,故选 BD.

9. 已知圆$C的半径为2$,圆心在$x$轴的正半轴上,且到直线$3x + 4y + 4 = 0$的距离等于半径,则圆$C$的标准方程是$(x-2)^{2}+y^{2}=4$。

答案： $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 解析:设圆心 C 的坐标为 $(a,0)$,且 $a＞0$,则点 C 到直线 $3x+4y+4=0$ 的距离为 2,即 $\frac{|3a+4×0+4|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2$,解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{14}{3}$(舍去),则圆 C 的标准方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$.

10. 求经过两点$P(-2,4)$,$Q(3,-1)$,且在$x轴上截得的弦长等于6$的圆的一般方程。

答案： 解:设圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ ($D^{2}+E^{2}-4F＞0$). 将 $(-2,4)$,$(3,-1)$ 代入圆的方程并化简,得 $\begin{cases}2D-4E-F=20,\\3D-E+F=-10.\end{cases}$ ①
令 $y=0$,得 $x^{2}+Dx+F=0$.
设 $x_{1},x_{2}$为方程 $x^{2}+Dx+F=0$ 的两个根,则 $x_{1}+x_{2}=-D$,$x_{1}x_{2}=F$.
由 $|x_{1}-x_{2}|=6$,得 $D^{2}-4F=36$,②
联立①②,解得 $D=-2$,$E=-4$,$F=-8$ 或 $D=-6$,$E=-8$,$F=0$.
所以圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}-2x-4y-8=0$ 或 $x^{2}+y^{2}-6x-8y=0$.

11. 已知圆$O_1的方程为x^2 + (y + 1)^2 = 4$,圆$O_2的圆心为O_2(2,1)$。
(1) 若圆$O_1与圆O_2$外切,求圆$O_2$的方程；
(2) 若圆$O_1与圆O_2交于A$,$B$两点,且$|AB| = 2\sqrt{2}$,求圆$O_2$的方程。

答案： 解:
(1)设圆 $O_{1}$、圆 $O_{2}$ 的半径分别为 $r_{1},r_{2}$.
因为两圆外切,所以 $|O_{1}O_{2}|=r_{1}+r_{2}$,所以 $r_{2}=|O_{1}O_{2}|-r_{1}=\sqrt{(2-0)^{2}+[1-(-1)]^{2}}-2=2(\sqrt{2}-1)$,所以圆 $O_{2}$ 的方程是 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4(\sqrt{2}-1)^{2}$.
(2)由题意,设圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=r_{3}^{2}$. 圆 $O_{1}$、圆 $O_{2}$ 的方程相减,得两圆公共弦 AB 所在直线的方程为 $4x+4y+r_{3}^{2}-8=0$.
所以圆心 $O_{1}(0,-1)$ 到直线 AB 的距离为 $\frac{|0-4+r_{3}^{2}-8|}{\sqrt{4^{2}+4^{2}}}=\sqrt{4-\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{2}$,解得 $r_{3}^{2}=4$ 或 $r_{3}^{2}=20$.
所以圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20$.