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2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版
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【典例2】已知空间三点$A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)$.设$a= \overrightarrow {AB},b= \overrightarrow {AC}.$
(1)设$|c|= 3,c// \overrightarrow {BC}$,求$c$;
(2)若$ka+b与ka-2b$互相垂直,求$k$.
(1)设$|c|= 3,c// \overrightarrow {BC}$,求$c$;
(2)若$ka+b与ka-2b$互相垂直,求$k$.
答案：
解:
(1)因为$\overrightarrow {BC}= (-2,-1,2)$,且$c// \overrightarrow {BC}$,所以设$c= \lambda \overrightarrow {BC}= (-2\lambda ,-\lambda ,2\lambda )(\lambda ∈R)$,所以$|c|= \sqrt {(-2\lambda )^{2}+(-\lambda )^{2}+(2\lambda )^{2}}= 3|\lambda |=3$,解得$\lambda =\pm 1$.
所以$c= (-2,-1,2)或c= (2,1,-2)$.
(2)因为$a= \overrightarrow {AB}= (1,1,0)$,$b= \overrightarrow {AC}= (-1,0,2)$,所以$ka+b= (k-1,k,2)$,$ka-2b= (k+2,k,-4)$.
因为$(ka+b)⊥(ka-2b)$,所以$(ka+b)\cdot (ka-2b)= 0$,即$(k-1,k,2)\cdot (k+2,k,-4)= 2k^{2}+k-10= 0$,解得$k= 2或k= -\frac {5}{2}$.
(1)因为$\overrightarrow {BC}= (-2,-1,2)$,且$c// \overrightarrow {BC}$,所以设$c= \lambda \overrightarrow {BC}= (-2\lambda ,-\lambda ,2\lambda )(\lambda ∈R)$,所以$|c|= \sqrt {(-2\lambda )^{2}+(-\lambda )^{2}+(2\lambda )^{2}}= 3|\lambda |=3$,解得$\lambda =\pm 1$.
所以$c= (-2,-1,2)或c= (2,1,-2)$.
(2)因为$a= \overrightarrow {AB}= (1,1,0)$,$b= \overrightarrow {AC}= (-1,0,2)$,所以$ka+b= (k-1,k,2)$,$ka-2b= (k+2,k,-4)$.
因为$(ka+b)⊥(ka-2b)$,所以$(ka+b)\cdot (ka-2b)= 0$,即$(k-1,k,2)\cdot (k+2,k,-4)= 2k^{2}+k-10= 0$,解得$k= 2或k= -\frac {5}{2}$.
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