《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.
(3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).

答案：
(1)向上的方向　
(2)平行或重合　
(3)$[0,\pi)$

2. 斜率公式
(1)定义式:直线l的倾斜角为$\alpha (\alpha \neq \frac{\pi}{2})$,则斜率$k=$$\tan\alpha$. 当直线的倾斜角$\alpha =\frac{\pi}{2}$时,直线的斜率不存在.
(2)坐标式:$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$在直线l上,且$x_{1}\neq x_{2}$,则l的斜率$k=$$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. 若$x_{1}= x_{2}$,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为$\frac{\pi}{2}$.

答案：
(1)$\tan\alpha$　
(2)$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

3. 直线方程的5种形式
|名称|方程|适用条件|
|点斜式|$y - y_0 = k(x - x_0)$|不含垂直于x轴的直线|
|斜截式|$y = kx + b$|不含垂直于x轴的直线|
|两点式|$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}}= \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$|不含直线$x = x_{1}(x_{1}\neq x_{2})和直线y = y_{1}(y_{1}\neq y_{2})$|
|截距式|$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}= 1$|不含垂直于坐标轴和过原点的直线|
|一般式|$Ax + By + C = 0$，$A^2 + B^2 \neq 0$|平面内所有直线|

答案： 点斜式:$y - y_0 = k(x - x_0)$　斜截式:$y = kx + b$　一般式:$Ax + By + C = 0$，$A^2 + B^2 \neq 0$

5. 两条直线垂直
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.

答案： 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.

【典例1】在平面直角坐标系中,已知$\triangle ABC的顶点为A(0,1),B(3,2)$.
(1)若点C的坐标为$(1,0)$,求AB边上的高所在的直线方程;
(2)若点$M(1,1)$为AC边的中点,求BC边所在的直线方程.

答案：

解:
(1)因为$A(0,1),B(3,2)$,

所以$k_{AB}= \frac{2 - 1}{3 - 0}= \frac{1}{3}$.

由垂直关系可得AB边上的高所在直线的斜率$k = - 3$,

所以AB边上的高所在直线方程为$y - 0 = - 3(x - 1)$,

化为一般式,得$3x + y - 3 = 0$.

(2)因为M为边AC的中点,所以$C(2,1)$,

所以$k_{BC}= \frac{1 - 2}{2 - 3}= 1$,

所以BC边所在直线的方程为$y - 1 = x - 2$,

化为一般式,得$x - y - 1 = 0$.