《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 基本初等函数的导数公式
|函数|导数|
|$f(x)= c$($c$为常数)|$f'(x)= $0|
|$f(x)= x^{α}$($α∈R$,且$α≠0$)|$f'(x)= $$\alpha x^{\alpha -1}$|
|$f(x)= sinx$|$f'(x)= $$\cos x$|
|$f(x)= cosx$|$f'(x)= $$-\sin x$|
|$f(x)= a^{x}$($a＞0$,且$a≠1$)|$f'(x)= $$a^{x}\ln a$|
|$f(x)= e^{x}$|$f'(x)= e^{x}$|
|$f(x)= log_{a}x$($a＞0$,且$a≠1$)|$f'(x)= $$\frac{1}{x\ln a}$|
|$f(x)= \ln x$|$f'(x)= $$\frac{1}{x}$|

答案： 0 $\alpha x^{\alpha -1}$ $\cos x$ $-\sin x$ $a^{x}\ln a$ $\frac{1}{x\ln a}$ $\frac{1}{x}$

2. 导数的运算法则
(1) 设函数$f(x)$,$g(x)$是可导函数,则
$[f(x)\pm g(x)]'=$$f'(x)\pm g'(x)$;
$[f(x)g(x)]'=$$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.
(2) 设函数$f(x)$,$g(x)$是可导函数,且$g(x)≠0$,则$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=$$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}$.

答案： 2.
(1)$f'(x)\pm g'(x)$ $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
(2)$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}$

3. 复合函数及其求导法则
(1) 复合函数的概念
一般地,对于两个函数$y = f(u)和u = g(x)$,如果通过中间变量$u$,$y$可以表示成$x$的函数,那么称这个函数为函数$y = f(u)和u = g(x)$的复合函数,记作$y=f(g(x))$.
(2) 复合函数的求导法则
复合函数$y = f(g(x))的导数和函数y = f(u)$,$u = g(x)的导数间的关系为y'_{x}= $$y'_{u}\cdot u'_{x}$,即$y对x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积.

答案： 3.
(1)$x$ $y=f(g(x))$
(2)$y'_{u}\cdot u'_{x}$ $y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数

4. 函数的单调性与导函数正负的关系
设函数$y = f(x)在区间(a,b)$内可导.
(1) 如果在区间$(a,b)$内,$f'(x)＞0$,那么$f(x)$在此区间上单调递增;
(2) 如果在区间$(a,b)$内,$f'(x)＜0$,那么$f(x)$在此区间上单调递减.

答案：
(1)递增
(2)递减

5. 函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较快,其图象比较陡峭,即$|f'(x)|$越大,则函数$f(x)$图象的切线的斜率的绝对值越大.

答案： 快 陡峭

【典例1】设函数$f(x)= \frac{1}{3}x^{3}+ax^{2}-9x - 1(a＞0)$,直线$l是曲线y = f(x)$的一条切线,当$l$的斜率最小时,直线$l与直线10x + y = 6$平行.
(1) 求$a$的值;
(2) 求曲线$y = f(x)在x = 3$处的切线方程.

答案：

解:
(1) 因为$f'(x)= x^{2}+2ax - 9= (x + a)^{2}-a^{2}-9$,

所以$f'(x)_{min}= -a^{2}-9$,

由题意知$-a^{2}-9= -10$,

所以$a = 1或a = -1$(舍去),

故$a = 1$.

(2) 由
(1)得$a = 1$.

所以$f'(x)= x^{2}+2x - 9$.

设曲线$y = f(x)在x = 3处的切线的斜率为k$,则$k = f'(3)= 6$.

又$f(3)= -10$,

所以曲线$y = f(x)在x = 3处的切线方程为y + 10 = 6(x - 3)$,即$6x - y - 28 = 0$.

破题锦囊 利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出. 常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点$(x_{0},y_{0})$不一定是切点. 若$(x_{0},y_{0})$不是切点,可先设切点为$Q(x_{1},y_{1})$,由$\frac{y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}= f'(x_{1})和y_{1}= f(x_{1})$,求出$x_{1},y_{1}$的值,转化为第一种类型求解.