《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 圆的标准方程

一般地，设**圆心** 的**坐标** 为$(a,b)$，**半径** 为$r$，则圆的标准方程为 **$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$**。

答案： 圆心 半径 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 坐标

2. 圆的一般方程
(1) 方程：当$D^2 + E^2 - 4F ＞ 0$时,方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$叫做圆的一般方程,其中圆心坐标为$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$,半径为$\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$。
(2) 说明：方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$不一定表示圆。当且仅当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时,表示圆；当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时,表示一个点$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$；当$D^2 + E^2 - 4F ＜ 0$时,不表示任何图形。

答案：
(1) $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ $\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$
(2) $D^{2}+E^{2}-4F＞0$ $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$

3. 点与圆的位置关系
圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r ＞ 0)$,其圆心为$(a,b)$,半径为$r$,点$P(x_0,y_0)$,设$d = |CP| = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2}$。
|位置关系| $d与r$的大小|点$P$的坐标的特点|
|点在圆外|$d＞r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＞ r^2$|
|点在圆上|$d=r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$|
|点在圆内|$d＜r$|$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 ＜ r^2$|

答案： $d＞r$ $d=r$ $d＜r$

【典例1】求圆心在圆$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = 2$上,且与$x轴和直线x = -\frac{1}{2}$都相切的圆的方程。

答案：

解：设圆心坐标为$(a,b)$,半径为$r$。

因为圆$(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = 2在直线x = -\frac{1}{2}$的右侧,且所求的圆与$x轴和直线x = -\frac{1}{2}$都相切,所以$a ＞ -\frac{1}{2}$。

所以$r = a + \frac{1}{2}$,$r = |b|$。

又圆心$(a,b)在圆(x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = 2$上,

所以$(a - \frac{3}{2})^2 + b^2 = 2$,

联立$\begin{cases}r = a + \frac{1}{2},\\r = |b|,\\(a - \frac{3}{2})^2 + b^2 = 2,\end{cases} 解得\begin{cases}a = \frac{1}{2},\\r = 1,\\b = \pm 1.\end{cases} $

所以所求圆的方程是$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = 1或(x - \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 = 1$。