《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

【典例2】已知圆$C_1:x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 = 0与圆C_2:x^2 + y^2 - 8x + 4y + 7 = 0$。
(1) 证明圆$C_1与圆C_2$相切,并求过切点的两圆公切线的方程；
(2) 求过点$(2,3)且过C_1$,$C_2$的切点的圆的方程。

答案：

解：
(1) 把圆$C_1与圆C_2$的方程都化为标准方程,得$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 13$,$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 13$。

圆心与半径长分别为$C_1(-2,2)$,$r_1 = \sqrt{13}$；$C_2(4,-2)$,$r_2 = \sqrt{13}$。

因为$|C_1C_2| = \sqrt{(-2 - 2)^2 + [4 - (-2)]^2} = 2\sqrt{13} = r_1 + r_2$,

所以圆$C_1与圆C_2$外切。

联立得$\begin{cases}x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 = 0,\\x^2 + y^2 - 8x + 4y + 7 = 0,\end{cases} $

两式相减,得$12x - 8y - 12 = 0$,即$3x - 2y - 3 = 0$,故过切点的两圆公切线的方程为$3x - 2y - 3 = 0$。

(2) 由圆系方程,可设所求圆的方程为$x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 + \lambda(3x - 2y - 3) = 0$。

点$(2,3)$在此圆上,将该点坐标代入方程,解得$\lambda = \frac{4}{3}$。

所以所求圆的方程为$x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 + \frac{4}{3}(3x - 2y - 3) = 0$,即$x^2 + y^2 + 8x - \frac{20}{3}y - 9 = 0$。

破题锦囊 直线与圆、圆与圆的主要题型为①位置关系的判断,②弦长问题,③求圆的方程。解决问题的方法主要有两种,一种是代数法,另一种是几何法。

1. 点$(\sin 30^{\circ},\cos 30^{\circ})与圆x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$的位置关系是(C)。
A.点在圆上
B.点在圆内
C.点在圆外
D.不能确定

答案： C 解析:因为 $\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=1＞\frac{1}{2}$,所以点在圆外.

2. 若点$(5a + 1,12a)$在圆$(x - 1)^2 + y^2 = 1$的内部,则实数$a$满足的条件是(D)。
A.$|a| ＜ 1$
B.$a ＜ \frac{1}{3}$
C.$|a| ＜ \frac{1}{5}$
D.$|a| ＜ \frac{1}{13}$

答案： D 解析:依题意,得 $(5a)^{2}+144a^{2}＜1$,所以 $169a^{2}＜1$,所以 $a^{2}＜\frac{1}{169}$,即 $|a|＜\frac{1}{13}$,故选 D.