《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

8. 一批产品分为一、二、三级,其中一级品数量是二级品的两倍,三级品数量为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量ξ,则P($\frac{1}{3}$ ≤ ξ ≤ $\frac{5}{3}$) = $\frac{4}{7}$。

答案： 8.$\frac {4}{7}$解析:设二级品有 k 个,则一级品有 2k 个,三级品有$\frac {k}{2}$个,总数为$\frac {7k}{2}$个,所以分布列如答表 12-1.答表 12-1$\begin{array}{r} \xi 123\\ P\frac {4}{7}\frac {2}{7}\frac {1}{7}\end{array}$$P(\frac {1}{3}≤\xi ≤\frac {5}{3})=P(\xi =1)=\frac {4}{7}.$

9. 某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答3个问题,组委会为每位选手都准备了10道不同的题目,其中有5道文史类题目、3道科技类题目、2道体育类题目。测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目作答。记某选手抽到科技类题目的道数为X。
(1)试求出随机变量X的可能取值。
(2)X = 1表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？

答案： 9.解:
(1)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2,3.
(2)X=1 表示的试验结果是"恰好抽到一道科技类题目".从三类题目中各抽取一道有$C_{3}^{1}C_{3}^{1}A_{3}^{3}=180$(种)不同的结果；抽取1 道科技类题目、2 道文史类题目有$C_{3}^{1}C_{5}^{2}A_{3}^{3}=180$(种)不同的结果；抽取1 道科技类题目、2 道体育类题目有$C_{3}^{1}C_{2}^{2}A_{3}^{3}=18$(种)不同的结果,所以可能出现$180+180+18=378$(种)不同的结果.

10. 设集合S是不等式$x^2 - x - 6 ≤ 0$的解集,整数m,n ∈ S。
(1)设“使得m + n = 0成立的有序数组(m,n)”为事件A,试列举事件A包含的基本事件；
(2)设$ξ = m^2,$求ξ的分布列。

答案： 10.解:
(1)由$x^2 - x - 6 ≤ 0,$得-2≤x≤3,即S=\{ x|-2≤x≤3\} .因为m,n∈Z,m,n∈S且m+n=0,所以事件 A 包含的基本事件有(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).
(2)因为 m 的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,3,所以$\xi =m^2$的所有可能取值为$ 0,1,4,9.P(\xi =0)=\frac {1}{6},P(\xi =1)=\frac {2}{6}=\frac {1}{3},P(\xi =4)=\frac {2}{6}=\frac {1}{3},P(\xi =9)=\frac {1}{6},$故ξ的分布列如答表 12-2.答表$ 12-2\begin{array}{r} \xi 0149\\ P\frac {1}{6}\frac {1}{3}\frac {1}{3}\frac {1}{6}\end{array}$

11. 某支教队有8名老师,现从中随机选出2名老师参加志愿者活动。
(1)若选出的老师中至少有1名女老师,则共有18种不同的选取方案,试求该支教队男、女老师的人数；
(2)在(1)的条件下,记X为选出的2名老师中女老师的人数,写出X的分布列。

答案： 11.解:
(1)设男老师有 x 人,则女老师有$(8-x)(1≤x≤8,x∈N^{*})$人,若选出的老师中至少有1名女老师,则不同的选取方案有$C_{8}^{2}-C_{x}^{2}=28-\frac {x(x-1)}{2}=18,$即$x(x-1)=20$,解得$x=5$或$x=-4$(舍去),所以该支教队有男老师5人、女老师3人.
(2)易知 X 的所有可能取值为 0,1,2,则$P(X=0)=\frac {C_{5}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac {5}{14},$$P(X=1)=\frac {C_{3}^{1}C_{5}^{1}}{C_{8}^{2}}=\frac {15}{28},$$P(X=2)=\frac {C_{3}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac {3}{28},$故 X 的分布列如答表 12-3.答表 12-3$\begin{array}{r} X012\\ P\frac {5}{14}\frac {15}{28}\frac {3}{28}\end{array}$