《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

【典例2】已知点$A(1,1),B(2,2)$,点P在直线$y= \frac{1}{2}x$上,求$|AP|^{2}+|BP|^{2}$取得最小值时点P的坐标.

答案：

解:设$P(2t,t)$,则$|AP|^{2}+|BP|^{2}= (2t - 1)^{2}+(t - 1)^{2}+(2t - 2)^{2}+(t - 2)^{2}= 10t^{2} - 18t + 10$.

当$t= \frac{9}{10}$时,$|AP|^{2}+|BP|^{2}$取得最小值,此时点P的坐标为$(\frac{9}{5},\frac{9}{10})$.

1. 若直线l的向上方向与y轴的正方向成$30^{\circ}$角,则直线l的倾斜角为(D).
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$30^{\circ}或150^{\circ}$
D.$60^{\circ}或120^{\circ}$

答案： D　解析:如答图4 - 1,直线$l$有两种情况，故$l$的倾斜角为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

2. 过两点$A(4,y),B(2,-3)$的直线的倾斜角为$45^{\circ}$,则y等于(C).
A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.-1
D.1

答案： C　解析:由题意知直线$AB$的斜率$k = \tan45^{\circ} = 1$，所以$\frac{y + 3}{4 - 2} = 1$，解得$y = -1$.故选C.

3. 已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为$A(0,1),B(1,0),C(4,3)$,则顶点D的坐标为((3,4)).
A.$(3,4)$
B.$(4,3)$
C.$(3,1)$
D.$(3,8)$

答案： A　解析:设顶点$D$的坐标为$(m,n)$.由题意得$AB// DC$，$AD// BC$，则有$k_{BA} = k_{DC}$，$k_{AD} = k_{BC}$，所以$\begin{cases}\frac{0 - 1}{1 - 0} = \frac{3 - n}{4 - m}\frac{n - 1}{m - 0} = \frac{3 - 0}{4 - 1}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 3\\n = 4\end{cases}$.所以顶点$D$的坐标为$(3,4)$.

4. 若过点$A(2,-2),B(5,0)$的直线与过点$P(2m,1),Q(-1,-m)$的直线垂直,则实数m的值为(B).
A.$\frac{5}{8}$
B.$-\frac{5}{8}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： B　解析:由题意知直线$AB$的斜率存在且不为$0$，则$k_{AB} \cdot k_{PQ} = -1$，即$\frac{0 - (-2)}{5 - 2} × \frac{-m - 1}{-1 - 2m} = -1$，解得$m = -\frac{5}{8}$.

5. 在$\triangle ABC$中,已知$A(4,1),B(7,5),C(-4,7)$,D为BC边的中点,则线段AD的长是(C).
A.$2\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$\frac{5\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{7\sqrt{5}}{2}$

答案： C　解析:由中点坐标公式，得$BC$边的中点$D$的坐标为$(\frac{3}{2},6)$.由两点间的距离公式得$|DA| = \sqrt{(4 - \frac{3}{2})^2 + (1 - 6)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$.故选C.