《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 数列的概念
按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一个位置上的数为这个数列的第一项,也叫做首项. 排在第n个位置上的数称为这个数列的第n项,记作$a_{n}$. 数列的一般形式为$a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$,简记为$\{ a_{n}\}$.

答案： 数列 项 首项

如果数列$\{ a_{n}\}$的第n项$a_{n}$与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

答案： 通项公式

3. 数列的分类
(1)按项数分类:项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类.
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列,即$a_{n+1}＞a_{n}(n= 1,2,3,…)$.
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列,即$a_{n+1}\lt a_{n}(n= 1,2,3,…)$.
各项都相等的数列叫做常数列.
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.

答案：
(1)有穷数列 无穷数列
(2)递增数列 递减数列 摆动数列

4. 等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 若公差$d= 0$,则这个数列为常数列.

答案： 第2项 同一个常数 公差 常数列

5. 等差数列的通项公式
已知等差数列$\{ a_{n}\}的首项为a_{1}$,公差为d,则有$a_{n}=$$a_{1}+(n-1)d$.

答案： $a_{1}+(n-1)d$

6. 等差中项
如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,即$A= $$\frac{a+b}{2}$.

答案： 等差中项 $\frac{a+b}{2}$

7. 等差数列的前n项和公式
$S_{n}= \frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}= na_{1}+\frac {n(n-1)}{2}d$.
注意:(1)等差数列的前n项和$S_{n}= na_{1}+\frac {n(n-1)}{2}d$,可以改写成$S_{n}= \frac {d}{2}n^{2}+(a_{1}-\frac {d}{2})n$. 当$d≠0$时,$S_{n}$是关于n的二次函数,所以可借助二次函数的有关性质来处理等差数列前n项和$S_{n}$的有关问题.
(2)在等差数列$\{ a_{n}\}$中,若$a_{1}＞0,d＜0$,则$S_{n}$存在最大值;若$a_{1}＜0,d＞0$,则$S_{n}$存在最小值.

答案：
(1)二次 二次
(2)大 小

8. 等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母$q$表示.

答案： 第2项 同一个常数 公比 $q$

9. 等比数列的通项公式
已知等比数列$\{ a_{n}\}的首项为a_{1}$,公比为$q(q≠0),\frac {a_{n}}{a_{n-1}}= $$q$$(n≥2),a_{n}= $$a_{1}q^{n-1}$.

答案： $q$ $a_{1}q^{n-1}$