《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

1. 函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ R $, 导函数 $ f'(x) $ 的图象如图 9 - 3 所示, 则函数 $ f(x) $ (C).


A.无极大值点, 有四个极小值点
B.有三个极大值点, 两个极小值点
C.有两个极大值点, 两个极小值点
D.有四个极大值点, 无极小值点

答案： C 解析：若f'(x)在[a,b](x₀∈(a,b))上的符号由正变负，且f'(x₀)=0，则f(x₀)是极大值；若f'(x)在[a,b](x₀∈(a,b))上的符号由负变正，且f'(x₀)=0，则f(x₀)是极小值.由题图易知f(x)有两个极大值点，两个极小值点.

2. 已知函数 $ f(x) = x^{3}+ax^{2}+3x - 9 $, 且 $ f(x) $ 在 $ x = -3 $ 时取得极值, 则实数 $ a $ 等于(A).
A.5
B.3
C.4
D.2

答案： A 解析：因为f'(x)=3x²+2ax+3，所以f'(-3)=3×(-3)²+2a×(-3)+3=0，所以a=5.

3. 已知函数 $ f(x) = x+\frac{1}{x} $, 则 $ f(x) $ (B).
A.有极大值 2, 极小值 - 2
B.有极大值 - 2, 极小值 2
C.无极大值, 但有极小值 - 2
D.有极大值 2, 但无极小值

答案： B 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)=x+$\frac{1}{x}$，所以f'(x)=1-$\frac{1}{x²}$.令f'(x)=1-$\frac{1}{x²}$=0，得x=±1.当x＜-1或x＞1时，f'(x)＞0；当-1＜x＜0或0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以当x=-1时，函数有极大值-2；当x=1时，函数有极小值2.

4. 下列说法正确的是(D).
A.函数在其定义域内若有最值与极值, 则其极大值便是最大值, 极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值, 也一定有极值
C.若函数在其定义域上有最值, 则一定有极值; 反之, 若有极值, 则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最大 (小) 值, 则有且仅有一个最大 (小) 值, 但若有极值, 则可能有多个极值

答案： D 解析：由极值与最值的区别知选D.

5. 函数 $ f(x) = e^{x}-x $ 在区间 $ [-1,1] $ 上的最大值是(C).
A.$ 1+\frac{1}{e} $
B.1
C.$ e - 1 $
D.$ e + 1 $

答案： C 解析：由题意得f'(x)=eˣ-1.令f'(x)=0，得x=0.当x∈[-1,0)时，f'(x)＜0；当x∈(0,1]时，f'(x)＞0，所以f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增.又因为f(-1)=$\frac{1}{e}$+1，f
(1)=e-1，所以f(-1)-f
(1)=2+$\frac{1}{e}$-e＜0，所以f(-1)＜f
(1)，所以f(x)max=f
(1)=e-1.

6. 若函数 $ y = x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+m $ 在 $ [-2,1] $ 上的最大值为 $ \frac{9}{2} $, 则实数 $ m $ 等于(B).
A.0
B.2
C.$ \frac{5}{2} $
D.1

答案： B 解析：y'=(x³+$\frac{3}{2}$x²+m)'=3x²+3x=3x(x+1)，令y'=0，得x=0或x=-1.设y=f(x)=x³+$\frac{3}{2}$x²+m，则f
(0)=m，f(-1)=m+$\frac{1}{2}$.又因为f
(1)=m+$\frac{5}{2}$，f(-2)=-8+6+m=m-2，所以f
(1)=m+$\frac{5}{2}$最大，所以m+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，所以m=2.

7. (多选) 已知定义在 $ R $ 上的函数 $ f(x) $, 其导函数 $ f'(x) $ 的大致图象如图 9 - 4 所示, 则下列叙述不正确的有( ABD ).

A.$ f(a) \gt f(e) \gt f(d) $
B.函数 $ f(x) $ 在 $ [a,b] $ 上单调递增, 在 $ [b,d] $ 上单调递减
C.函数 $ f(x) $ 的极值点为 $ c,e $
D.函数 $ f(x) $ 的极大值为 $ f(b) $

答案： ABD 解析：由题图可知，当x∈(-∞,c)时，f'(x)＞0；当x∈(c,e)时，f'(x)＜0；当x∈(e,+∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(-∞,c)上单调递增，在(c,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，所以f(d)＞f(e)，故A中叙述错误；函数f(x)在[a,b]上单调递增，在[b,c]上单调递增，在[c,d]上单调递减，故B中叙述错误；函数f(x)的极值点为c,e，故C中叙述正确；函数f(x)的极大值为f(c)，故D中叙述错误.

8. 用边长为 $ 48cm $ 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时, 在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形, 然后把四边折起, 就能焊成铁盒, 所做的铁盒容积最大时, 在四角截去的小正方形的边长为8cm.

答案： 8 解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm³，则铁盒的底面边长为(48-2x)cm.由题意，得V=x(48-2x)²(0＜x＜24)，V'=12x²-384x+2304=12(x-8)(x-24).因为0＜x＜24，所以当x=8时，Vmax=8192.