《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二数学人教版》

11. 已知曲线$y = x^{2}+1$,是否存在实数$a$,使得经过点$(1,a)$能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数$a$的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案： 11. 解:存在实数$a$,求解如下:因为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}+1-x^{2}-1}{\Delta x}=2x+\Delta x$,所以$y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2x+\Delta x)=2x$.设切点为$P(x_{0},y_{0})$,则切线的斜率$k=y'|_{x=x_{0}}=2x_{0}$,由点斜式可得切线方程为$y-y_{0}=2x_{0}(x-x_{0})$.又因为切线过点$(1,a)$,且$y_{0}=x_{0}^{2}+1$,所以$a-(x_{0}^{2}+1)=2x_{0}(1-x_{0})$,即$x_{0}^{2}-2x_{0}+a-1=0$.假设切线有两条,则$\Delta=(-2)^{2}-4(a-1)＞0$,解得$a＜2$.故存在实数$a$,使得经过点$(1,a)$能够作出该曲线的两条切线,且$a$的取值范围是$(-\infty,2)$.

12. 已知函数$f(x)= x^{3}+ax^{2}-a^{2}x + 2$.
(1) 若$a = 1$,求曲线$y = f(x)在点(1,f(1))$处的切线方程;
(2) 若$a＞0$,求函数$f(x)$的单调区间.

答案： 12. 解:
(1)因为$a = 1$,所以$f(x)=x^{3}+x^{2}-x + 2$,$f'(x)=3x^{2}+2x -1$,所以$f'(1)=4$.又$f(1)=3$,所以切点坐标为$(1,3)$,所以所求切线方程为$y -3=4(x -1)$,即$4x - y -1=0$.
(2)$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,$f'(x)=3x^{2}+2ax -a^{2}=(x + a)(3x -a)$.由$f'(x)=0$,得$x=-a$或$x=\frac{a}{3}$.又$a＞0$,由$f'(x)＜0$,得$-a＜x＜\frac{a}{3}$;由$f'(x)＞0$,得$x＜-a$或$x＞\frac{a}{3}$,故$f(x)$的单调递减区间为$(-a,\frac{a}{3})$,单调递增区间为$(-\infty,-a)$和$(\frac{a}{3},+\infty)$.