《2025年创新成功学习快乐暑假七年级》

22. 如图,$ OP $ 是 $ \angle AOC $ 和 $ \angle BOD $ 的角平分线,$ OA = OC $,$ OB = OD $。
(1) 图中 $ \angle 1 = \angle 2 $ 吗？试说明理由；
解: $ ∠1 = ∠2 $，理由如下:
　　$ ∵OP $ 平分 $ ∠AOC $，
　　$ ∴∠AOP = ∠COP $。
　　又 $ ∵OP $ 平分 $ ∠BOD $，
　　$ ∴∠BOP = ∠DOP $。
　　$ ∴∠AOP - ∠BOP = ∠COP - ∠DOP $。
　　$ ∴∠1 = ∠2 $；
(2) $ AB = CD $ 吗？试说明理由。
解: $ AB = CD $，理由如下:
　在 $ △AOB $ 和 $ △COD $ 中，
　$ OA = OC $，$ ∠1 = ∠2 $，$ OB = OD $，
　　$ ∴△AOB ≌ △COD $。
　　$ ∴AB = CD $。

答案： 解:
(1) $ ∠1 = ∠2 $，理由如下:
　　$ ∵OP $ 平分 $ ∠AOC $，
　　$ ∴∠AOP = ∠COP $。
　　又 $ ∵OP $ 平分 $ ∠BOD $，
　　$ ∴∠BOP = ∠DOP $。
　　$ ∴∠AOP - ∠BOP = ∠COP - ∠DOP $。
　　$ ∴∠1 = ∠2 $；
(2) $ AB = CD $，理由如下:
　在 $ △AOB $ 和 $ △COD $ 中，
　$ OA = OC $，$ ∠1 = ∠2 $，$ OB = OD $，
　　$ ∴△AOB ≌ △COD $。
　　$ ∴AB = CD $。

23. 计算：$ 3^{-2} + (-5)^0 $。

答案： 解:原式 $=\frac{1}{3^2}+1=\frac{1}{9}+1=\frac{10}{9}$

24. 如图,直线 $ AB $,$ CD $ 分别被直线 $ AC $,$ BD $ 所截,$ \angle 3 = \angle 4 $。
(1) 直线 $ AB $ 与 $ CD $ 平行吗？请说明理由；
解:直线AB与CD平行,理由如下:
　　$ ∵∠3 = ∠4 $，
　　$ ∴AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
(2) 若 $ \angle 1 = 65^{\circ} $,求 $ \angle 2 $ 的度数。
解: $ ∵AB // CD $，
$ ∴∠1 = ∠2 $（两直线平行，同位角相等）。
　　$ ∵∠1 = 65^{\circ} $，
　　$ ∴∠2 = 65^{\circ} $。

答案： 解:
(1)直线AB与CD平行,理由如下:
　　$ ∵∠3 = ∠4 $，
　　$ ∴AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
(2) $ ∵AB // CD $，
$ ∴∠1 = ∠2 $（两直线平行，同位角相等）。
　　$ ∵∠1 = 65^{\circ} $，
　　$ ∴∠2 = 65^{\circ} $。

25. 如图,要在燃气管道 $ l $ 上修建一个泵站,分别向 $ A $,$ B $ 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短？你可以在 $ l $ 上找几个点？试一试,能发现什么规律？

聪明的小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法. 他把管道 $ l $ 看成一条直线 [图(2)],问题就转化为要在直线 $ l $ 上找一点 $ P $,使 $ AP $ 与 $ BP $ 的和最小. 他的做法是这样的：
① 作点 $ B $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ B' $；
② 连接 $ AB' $ 交直线 $ l $ 于点 $ P $,则点 $ P $ 即为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题：
如图(3),在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $,$ E $ 分别是 $ AB $,$ AC $ 边的中点,请你在 $ BC $ 边上确定一点 $ P $,使 $ \triangle PDE $ 的周长最小.

答案：
解:如图,作点D关于直线BC的对称点D',连接ED'交BC于点P,连接PD,点P即为所求.