《2025年创新成功学习快乐暑假七年级》

22. 计算：$\sqrt{25}×\sqrt{(-\frac{1}{5})^2} - \sqrt{36}×\frac{1}{\sqrt{(-6)^2}}$。

答案： 解：原式$=5×\frac{1}{5}-6×\frac{1}{6}=1 - 1=0$

23. 已知$3×9^{m}×27^{m} = 3^{11}$,求$m$的值。

答案： 解：$∵ 3×9^{m}×27^{m}=3×(3^{2})^{m}×(3^{3})^{m}=3×3^{2m}×3^{3m}=3^{1+2m+3m}=3^{1+5m}$，
又$∵ 3×9^{m}×27^{m}=3^{11}$，
$∴ 3^{1+5m}=3^{11}$，
$∴ 1+5m=11$，
解得$m=2$。

24. 已知关于$x的方程x + m = 3(x - 2)$的解是正数,求$m$的取值范围。

答案： 解：$ x + m = 3(x - 2) $，
$ ∴ x + m = 3x - 6 $，
$ ∴ -2x = -6 - m $，
$ ∴ x = 3 + \frac{1}{2}m $，
$ ∵ $ 方程的解是正数，
$ ∴ 3 + \frac{1}{2}m ＞ 0 $，
$ ∴ m ＞ -6 $.
即 $ m $ 的取值范围是 $ m ＞ -6 $.

25. 棱长为$a$的小正方体,按照如图所示的方法一直持续摆放,自上而下分别叫第$1$层、第$2$层、……第$n(n ＞ 0)$层,第$n层的小方体的个数记为S$。

(1)完成下表：
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | …$$ |
| $S$ | $1$ | $3$ | ______6______ | ______10______ | …$$ |
(2)研究上表可以发现$S随n$的增大而增大,且有一定的规律,请你用式子来表示$S与n$的关系,并计算当$n = 10时S$的值。

答案：
(1) $ 6 $ $ 10 $ 【解析】$ ∵ $ 题图 1 有 $ 1 $ 层，共 $ 1 $ 个小正方体，题图 2 有 $ 2 $ 层，第 $ 2 $ 层正方体的个数为 $ 1 + 2 = 3 $，题图 3 有 $ 3 $ 层，第 $ 3 $ 层正方体的个数为 $ 1 + 2 + 3 = 6 $，$ ∴ n = 4 $ 时，即第 $ 4 $ 层正方体的个数为 $ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $.
(2) 解：$ S $ 随 $ n $ 的变化而变化，$ n $ 是自变量，$ S $ 是因变量，第 $ n $ 层时，$ S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1) $，当 $ n = 10 $ 时，$ S = \frac{1}{2} × 10 × 11 = 55 $.