《2025年暑假生活新疆文化出版社八年级数学冀教版》

22. (本小题满分8分)
如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE= EF= FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.

答案：
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA = OC,OB = OD.因为BE = DF,OE = OB - BE,OF = OD - DF,所以OE = OF,所以四边形AECF是平行四边形(提示:对角线互相平分的四边形为平行四边形).
(2)设△ABE的面积为S₁,△AEO的面积为S₂.由
(1)得BE = 2OE,所以$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{BE}{OE}$ = 2(提示:等高的三角形面积之比等于底边长度之比).又因为S₁ = 2,所以S₂ = 1.由
(1)知,△CFO的面积等于△AEO的面积,所以△CFO的面积等于1.

23. (本小题满分12分)
在四边形ABCD中,∠A= 140°,∠D= 80°.
(1)如图①,若∠B= ∠C,试求出∠C的度数；
(2)如图②,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE//AD,试求出∠C的度数.

答案：
(1)
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = (4 - 2)×180° = 360°,∠B = ∠C,∠A = 140°,∠D = 80°,
∴∠C = $\frac{360^{\circ}-\angle A-\angle D}{2}$ = 70°.
(2)BE//AD,∠D = 80°,∠A = 140°,
∴∠BEC = ∠D = 80°,∠ABE = 180° - ∠A = 180° - 140° = 40°.又
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBC = ∠ABE = 40°.
∴∠C = 180° - ∠EBC - ∠BEC = 180° - 40° - 80° = 60°.

24. (本小题满分14分)
在△ABC中,∠B= 40°,∠C= 36°,点D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,点P是一动点,设∠DPE= α,∠PDB= ∠1,∠PEC= ∠2.
(1)若点P在边BC上,如图①,α= 40°,计算∠1+∠2的度数；
(2)若点P运动到△ABC外,请在图②中标出∠α,∠1,∠2,探究∠α,∠1,∠2之间的等量关系,并说明理由；
(3)若点P运动到△ABC外,请分别在图③图④中标出∠α,∠1,∠2,并直接写出相应的∠α,∠1,∠2之间的等量关系.

答案：

(1)
∵在△ABC中,∠B = 40°,∠C = 36°,
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 104°.
∵∠1 + ∠ADP = ∠2 + ∠AEP = 180°,
∴∠1 + ∠ADP + ∠2 + ∠AEP = 360°.
∵∠A + ∠α + ∠ADP + ∠AEP = 360°,
∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠α.
∵∠α = 40°,
∴∠1 + ∠2 = 144°.
(2)如图①,标出∠α,∠1,∠2.
∵在△ABC中,∠B = 40°,∠C = 36°,
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 104°.
∵∠1 + ∠ADP = ∠2 + ∠AEP = 180°,
∴∠1 + ∠ADP + ∠2 + ∠AEP = 360°.
∵∠A + ∠α + ∠ADP + ∠AEP = 360°,
∴∠1 + ∠2 = ∠A + ∠α,即∠1 + ∠2 = ∠α + 104°.
(3)如图②,标注∠α,∠1,∠2.此时∠1 - ∠2 = ∠α + 104°. 如图③,标注∠α,∠1,∠2.此时∠2 - ∠1 = 104° - ∠α.