《2025年暑假生活新疆文化出版社八年级数学冀教版》

【例1】 如图,在$□ ABCD$中,点$E$,$F分别在BC$,$AD$上,$BE = DF$,$AC = EF$.
求证：四边形$AECF$是矩形；
【解析】 本题考查平行四边形的性质,矩形的判定.
解：(1)证明：在平行四边形$ABCD$中,
$AD// BC$,$AD = BC$.
$\because BE = DF$,$\therefore AF = EC$,
$\therefore四边形AECF$是平行四边形(提示：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
又$\because AC = EF$,
$\therefore平行四边形AECF$是矩形(提示：对角线相等的平行四边形是矩形).

答案：

【例2】 如图,要测量池塘两岸相对的$A$,$B$两点间的距离,可以在池塘外选一点$C$,连接$AC$,$BC$,分别取$AC$,$BC的中点D$,$E$,测得$DE = 50m$,则$AB$的长是______m.
【解析】 本题考查三角形中位线定理. $\because点D$,$E分别是AC$,$BC$的中点,$\therefore DE是\triangle ABC$的中位线,$\therefore AB = 2DE = 2×50 = 100m$.
【答案】 $100m$.

答案：

1. 如图,在$□ ABCD$中,$O为BD$的中点,$EF过点O且分别交AB$,$CD于点E$,$F$. 若$AE = 10$,则$CF$的长为______.

答案： 10

2. 如图,平行四边形$ABCD的周长是36cm$,对角线$AC与BD交于点O$,$AC\perp AB$,$E是BC$中点,$\triangle AOD的周长比\triangle AOB的周长多2cm$,则$AE$的长度为______cm.

答案： 5

3. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC与BD交于点O$,$BE\perp AC$,$DF\perp AC$,垂足分别为点$E$,$F$,且$AF = CE$,$\angle BAC = \angle DCA$.
求证：四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 证明：$\because BE⊥AC,DF⊥AC,\therefore ∠AEB=∠CFD=90^{\circ },\because AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,\therefore AE=CF$，又$\because ∠BAC=∠DCA,\therefore △AEB\cong △CFD(ASA),\therefore AB=CD,\because ∠BAC=∠ACD,\therefore AB// CD,\therefore $四边形 ABCD 是平行四边形.