《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

25 如图,$AD\perp BC$,垂足为 $D$,且 $AD = 4$,$BD = 9$。点 $E$ 从 $D$ 点沿射线 $DC$ 向右以 $2$ 个单位/秒的速度匀速运动,同时点 $F$ 从 $B$ 点沿线段 $BD$ 向点 $D$ 以 $1$ 个单位/秒的速度匀速运动,当点 $F$ 到达终点 $D$ 时,点 $E$ 也立即停止运动,连接 $AE$、$AF$,设点 $F$ 运动的时间为 $t$ 秒。
(1)当 $t$ 为何值时,$AD$ 是 $\triangle AEF$ 的中线？
(2)当 $t = 1$ 时,判断 $\triangle AEF$ 的形状,并说明理由；
(3)是否存在 $t$ 的值,使 $\triangle AEF$ 是以 $AF$ 为腰的等腰三角形？若存在,直接写出 $t$ 的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)当DF=DE时,AD是△AEF的中线。9-t=2t,解得t=3。
(2)当t=1时,△AEF是直角三角形。理由如下:因为t=1,所以DF=9-1=8,DE=1×2=2,EF=8+2=10。在Rt△ADF中,AF²=4²+8²=80。在Rt△ADE中,AE²=4²+2²=20。所以AF²+AE²=80+20=100。又因为EF²=10²=100,所以AF²+AE²=EF²,所以∠EAF=90°，即△AEF是直角三角形。
(3)存在。分两种情况讨论:①当AF=EF时,DF=9-t,DE=2t,EF=DF+DE=9+t,所以AF=9+t。在Rt△ADF中,AF²=AD²+DF²,所以(9+t)²=4²+(9-t)²,解得t=4/9;②当AF=AE时,在Rt△ADF中,AF²=AD²+DF²=4²+(9-t)²。在Rt△ADE中,AE²=AD²+DE²=4²+(2t)²。所以4²+(9-t)²=4²+(2t)²。解得t₁=3,t₂=-9 (舍去)。综上，△AEF是以AF为腰的等腰三角形时，t的值是3或4/9。