《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

20 已知$a= \frac {1+\sqrt {5}}{2}$,$b= \frac {1-\sqrt {5}}{2}$。
(1) 求$ab及a^{2}+b^{2}$的值；
(2) 求不超过$a^{5}$的最大整数。

答案：
(1)$ab=-1$,$a^{2}+b^{2}=3$
(2)因为$a^{2}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,所以$a^{4}=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{2}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$,所以$a^{5}=\frac{(7+3\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{4}=\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$。因为$\sqrt{5}\approx2.236$,所以$a^{5}＞\frac{11+5×2.2}{2}=11$,$a^{5}＜\frac{11+5×2.3}{2}＜12$。因此,不超过$a^{5}$的最大整数为11。

21 已知$x= \frac {1}{2+\sqrt {3}}$,$y= \frac {1}{2-\sqrt {3}}$。
(1) 求$x^{2}+y^{2}-3xy$的值；
(2) 若$x的小数部分为a$,$y的整数部分为b$,求$ax-by$的值。

答案：
(1)11
(2)$1-7\sqrt{3}$

22 定义：若两个二次根式$m$、$n满足m\cdot n= p$,且$p$是有理数,则称$m与n是关于p$的和谐二次根式。
(1) 若$m与\sqrt {3}$是关于6的和谐二次根式,求$m$；
(2) 若$2-\sqrt {2}与4+\sqrt {2}m$是关于4的和谐二次根式,求$m$的值。

答案：
(1)$m=2\sqrt{3}$
(2)$(2-\sqrt{2})(4+\sqrt{2}m)=4$,整理得$(2\sqrt{2}-2)m=4\sqrt{2}-4$,所以$m=2$。