《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

20 已知$y= \sqrt {(x-4)^{2}}-x+5$,当x分别取1,2,3,…,2024时,求所对应y值的总和。

答案： $y=\sqrt{(x - 4)^{2}}-x + 5=|x - 4|-x + 5$,当$x - 4\lt 0$时,$y = 4 - x - x + 5 = 9 - 2x$,当$x - 4\geqslant 0$时,$y = x - 4 - x + 5 = 1$;当$x = 1$时,$y = 9 - 2 = 7$;当$x = 2$时,$y = 9 - 4 = 5$;当$x = 3$时,$y = 9 - 6 = 3$。所以当$x$分别取$1$,$2$,$3$,…,$2024$时,所对应的$y$值的总和是$7 + 5 + 3+2021×1 = 2036$。

21 小明在解决化简$\sqrt {3+2\sqrt {2}}$的过程中发现,通过完全平方公式可以将这个代数式化简。
例如:$\sqrt {3+2\sqrt {2}}= \sqrt {(\sqrt {2})^{2}+2\sqrt {2}+1^{2}}= \sqrt {(\sqrt {2}+1)^{2}}= \sqrt {2}+1$。
(1)请你仿照小明的方法化简:$\sqrt {6-2\sqrt {5}}$;
(2)计算:$2\sqrt {3-2\sqrt {2}}+\sqrt {17-12\sqrt {2}}$。

答案：
(1) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}+1^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}=\sqrt{5}-1$。
(2) $2\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}+\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}=2\sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2}}+\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^{2}}=2(\sqrt{2}-1)+(3 - 2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2 + 3 - 2\sqrt{2}=1$。

22 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简:$\sqrt {a^{2}}-|a+c|+\sqrt {(c-b)^{2}}-\sqrt {(b-a)^{2}}$。

答案： a

23 已知x满足$|2025-x|+\sqrt {x-2026}= x$,求$x-2025^{2}$的值。

答案： 由$x - 2026\geqslant 0$,解得$x\geqslant 2026$,则$x - 2025+\sqrt{x - 2026}=x$,所以$\sqrt{x - 2026}=2025$,解得$x = 2025^{2}+2026$,则$x - 2025^{2}=2026$。

24 已知$\sqrt {a(x-a)}+\sqrt {a(y-a)}= \sqrt {x-a}-\sqrt {a-y}$在实数范围内成立,a、x、y为互不相等的实数,求$\frac {x+y}{x-y}$的值。

答案： 因为$x - a\geqslant 0$且$x\neq a$,所以$x - a\gt 0$。因为$a(x - a)\geqslant 0$,所以$a\geqslant 0$。当$a\gt 0$时,$\begin{cases}a(y - a)\geqslant 0\\a - y\geqslant 0\end{cases}$,所以$y = a$,与$y$、$a$互不相等矛盾,所以$a = 0$。此时,$\sqrt{x}-\sqrt{-y}=0$,解得$x = -y$,即$x + y = 0$。所以$\frac{x + y}{x - y}=0$。