《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

24 已知 $ A = \sqrt [ m - n ] { m + n + 3 } $ 是 $ m + n + 3 $ 的算术平方根,$ B = \sqrt [ m - 2 n + 3 ] { 4 m + 6 n - 20 } $ 是 $ 4 m + 6 n - 20 $ 的立方根,求 $ \sqrt { A ^ { 2 } + 8 B } $ 的值。

答案： 因为A=ᵐ⁻ⁿ√(m+n+3)是m+n+3的算术平方根,B=ᵐ⁻²ⁿ⁺³√(4m+6n-20)是4m+6n-20的立方根，所以{m - n=2，m - 2n+3=3，解得{m=4，n=2。所以A=ᵐ⁻ⁿ√(m+n+3)=√9=3，B=ᵐ⁻²ⁿ⁺³√(4m+6n-20)=³√8=2,所以√(A²+8B)=√(9+16)=√25=5。

25 若含根号的式子 $ a + b \sqrt { x } $ 可以写成式子 $ m + n \sqrt { x } $ 的平方(其中 $ a $、$ b $、$ m $、$ n $ 都是整数,$ x $ 是正整数),即 $ a + b \sqrt { x } = ( m + n \sqrt { x } ) ^ { 2 } $,则称 $ a + b \sqrt { x } $ 为完美根式,$ m + n \sqrt { x } $ 为 $ a + b \sqrt { x } $ 的完美平方根。例如：因为 $ 19 + 6 \sqrt { 2 } = ( 1 + 3 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $,所以 $ 1 + 3 \sqrt { 2 } $ 是 $ 19 + 6 \sqrt { 2 } $ 的完美平方根。
(1)已知 $ 3 + 2 \sqrt { 3 } $ 是 $ a + 12 \sqrt { 3 } $ 的完美平方根,求 $ a $ 的值；
(2)若 $ m + n \sqrt { 5 } $ 是 $ a + b \sqrt { 5 } $ 的完美平方根,用含 $ m $、$ n $ 的式子分别表示 $ a $、$ b $；
(3)已知 $ 17 - 12 \sqrt { 2 } $ 是完美根式,直接写出它的一个完美平方根。

答案：
(1)a=21　
(2)a=m²+5n²,b=2mn
(3)因为12√2=2×3×2√2，所以17-12√2=3²-2×3×2√2+(2√2)²=(3-2√2)²，所以3-2√2是17-12√2的一个完美平方根。