《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

23 我们知道在解与角平分线有关的问题时,通常过角平分线上的一点作角两边的垂线,构造全等三角形,请完成下列问题。



【初步探究】
(1) 如图①,$ \angle MAN = 120^{\circ} $,$ AP $ 平分 $ \angle MAN $,点 $ C $ 是射线 $ AP $ 上一点,$ \angle BCD = 60^{\circ} $,且与 $ AM $、$ AN $ 分别交于点 $ D $、$ B $,求证：$ CD = CB $；
【类比探究】(2) 如图②,其他条件不变,将图①的 $ \angle BCD $ 绕点 $ C $ 逆时针旋转使点 $ D $ 落在 $ AM $ 的反向延长线上。请探究线段 $ AB $、$ AC $ 和 $ AD $ 之间的数量关系,写出结论并证明；
【拓展应用】(3) 如图③,其他条件不变,将图①的 $ \angle BCD $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转使点 $ B $ 落在 $ AN $ 的反向延长线上。请直接写出线段 $ AB $、$ AC $ 和 $ AD $ 之间的数量关系。(不用证明)

答案：

(1)如图①，过点 C 作 CE⊥AN 于点 E，过点 C 作 CF⊥AM 于点 F，所以∠CFD=∠CEA=90°。因为 AC 是∠MAN 的平分线，所以 CE=CF。因为∠MAN=120°，所以∠ECF=360° - 90° - 90° - 120°=60°。因为∠BCD=60°，所以∠DCF=60° - ∠BCF，∠BCE=60° - ∠BCF，所以∠DCF=∠BCE，所以△CDF≌△CBE(AAS)，所以 CD=CB。
(2)AB=AC+AD。理由如下:如图②，在 AB 上截取 AG=AC，连接 CG。因为∠PAB=$\frac{1}{2}$∠MAN=60°，所以△ACG 是等边三角形，所以 AC=CG=AG。由
(1)知，BC=CD，∠BCD=60°，因为∠ACG=∠ACD+∠DCG=60°，∠BCD=∠DCG+∠BCG=60°，所以∠ACD=∠BCG，因为∠MAN=120°，∠AGC=60°，所以∠CAD=∠CGB=120°，所以△BCG≌△DCA(AAS)，所以 AD=BG，所以 AB=AG+BG=AC+AD。
(3)AD=AB+AC。理由如下:如图③，在 AD 上截取 AH=AC，连接 CH。因为∠MAC=60°，所以△ACH 是等边三角形，所以 AH=CH=AC。因为∠CHA=60°，∠MAC=∠CAN=60°，所以∠CHD=∠BAC=120°。因为∠ACH=∠BCA+∠HCB=60°，∠DCB=∠DCH+∠BCH=60°，所以∠DCH=∠BCA，所以△CDH≌△CBA(AAS)，所以 DH=AB，所以 AD=DH+AH=AB+AC，即 AD=AB+AC。