《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

14 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,且 $ \angle BEC = \angle BCE $,若点 $ D $ 为 $ BE $ 延长线上的一点,并且 $ BD = BA $,过 $ D $ 作 $ DG \perp AB $,垂足为 $ G $。下列结论：① $ \triangle ABE \cong \triangle DBC $；② $ AD = CE $；③ $ \angle BAD = \angle BCA $；④ $ BC + 2AG = AB $,其中正确的是 。(填序号)

答案： ①③④

15 如图,已知 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ DE \perp BA $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $,$ DF \perp BC $ 于点 $ F $,$ \angle BAD + \angle C = 180^{\circ} $,$ BC = 12cm $,$ AB = 6cm $,则 $ AE $ 的长度为 cm。

答案： 3

16 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AB = 25 $,$ AC = 24 $,$ CB = 7 $,$ I $ 是三条角平分线的交点,$ ID \perp BC $ 于点 $ D $,则 $ ID $ 的长是 。

答案：
3 [提示:过 I 作 IE⊥AC 于点 E，IF⊥AB 于点 F，连接 IA、IC、IB。因为 I 是三条角平分线的交点，ID⊥BC，所以 IE=ID=IF，设 IE=ID=IF=R，因为△ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，CB=7，所以△ABC 的面积 S=$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×24×7=84，所以 S△ACI+S△BCI+S△ABI=84，所以$\frac{1}{2}$×AC×IE+$\frac{1}{2}$×BC×ID+$\frac{1}{2}$×AB×IF=84，解得:R=3。]

17 如图,$ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle ABP $ 的平分线,$ DA = DC $,$ DE \perp BP $ 于点 $ E $。若 $ AB = 5 $,$ BC = 3 $,则 $ BE $ 的长为 。

答案：
1 [提示:如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，因为 BD 是∠ABP 的平分线，DE⊥BP，DF⊥AB，所以 DE=DF。在△BDE 和△BDF 中，因为{BD=BD，DE=DF}，所以△BDE≌△BDF(HL)，所以 BE=BF。在△ADF 和△CDE 中，因为{DA=DC，DE=DF}，所以△ADF≌△CDE(HL)，所以 AF=CE。因为 AF=AB - BF，CE=BC+BE，所以 AB - BF=BC+BE，所以 2BE=AB - BC。因为 AB=5，BC=3，所以 2BE=5 - 3=2，解得 BE=1。]

18 如图,已知 $ CD $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线,直线 $ l $ 经过点 $ A $,过 $ C $ 点作 $ CE \perp l $,垂足为点 $ E $,点 $ F $ 是线段 $ AE $ 上一点,连接 $ BF $、$ CF $,$ \angle BFE = 2\angle BAC $,$ CF $ 平分 $ \angle BFE $,则线段 $ BF $、$ EF $、$ AF $ 之间的等量关系是 。

答案：
BF=AE+EF [提示:如图，连接 BC，过点 C 作 CM⊥BF 交于点 M。因为 CD 是线段 AB 的垂直平分线，所以 AC=BC，所以∠CAB=∠CBA。因为 CF 平分∠BFE，CE⊥EF，CM⊥MF，所以 CM=CE，∠BFC=∠EFC。在 Rt△ECF 和 Rt△MCF 中，因为{CM=CE，CF=CF}，所以 Rt△ECF≌Rt△MCF(HL)，所以 EF=MF。因为∠BFE=2∠BAC，∠BFE=∠BAC+∠CAF+∠ABF，所以∠BFC=∠EFC=∠BAC，∠BAC=∠CAF+∠ABF。又因为∠ABC=∠CBF+∠ABF，所以∠CBF=∠CAF。在△EAC 和△MBC 中，因为{∠AEC=∠BMC=90°，∠CBM=∠CAE，AC=BC}，所以△EAC≌△MBC(AAS)，所以 EA=MB，故 BF=BM+FM=AE+EF。]

19 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于 $ E $,$ CD $ 平分 $ \angle ACB $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,$ BE $ 与 $ CD $ 交于点 $ O $,连接 $ AO $。
(1) 求 $ \angle BOD $ 的度数；
(2) 求证：$ AO $ 平分 $ \angle BAC $。

答案：

(1)因为 BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，所以∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCD。因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，即 2∠CBE+2∠BCD=90°，所以∠CBE+∠BCD=45°。因为∠BOD 是△OBC 的外角，所以∠BOD=∠CBE+∠BCD=45°。
(2)如图，过点 O 作 OM⊥AB 于点 M，ON⊥BC 于点 N，OK⊥AC 于点 K。因为 BE 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，所以 OM=ON，ON=OK，所以 OM=OK。又因为 OM⊥AB 于点 M，OK⊥AC 于点 K，所以点 O 在∠BAC 的平分线上。所以 AO 平分∠BAC。