《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

23 下面是小李同学探索 $ \sqrt{107} $ 的近似数的过程：
因为面积为 107 的正方形边长是 $ \sqrt{107} $,且 $ 10 ＜ \sqrt{107} ＜ 11 $,所以设 $ \sqrt{107} = 10 + x $,其中 $ 0 ＜ x ＜ 1 $,画出如图示意图,
因为图中 $ S_{正方形} = 10^{2} + 2×10·x + x^{2} $,$ S_{正方形} = 107 $,
所以 $ 10^{2} + 2×10·x + x^{2} = 107 $,当 $ x^{2} $ 较小时,省略 $ x^{2} $,得 $ 20x + 100 ≈ 107 $,得到 $ x ≈ 0.35 $,即 $ \sqrt{107} ≈ 10.35 $。

(1) $ \sqrt{76} $ 的整数部分是 ；
(2) 仿照上述方法,探究 $ \sqrt{76} $ 的近似值。(画出示意图,标明数据,并写出求解过程)

答案：
（1）8（2）因为面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且$8＜\sqrt{76}＜9$,所以设$\sqrt{76}=8+x$,其中$0＜x＜1$,画出如图示意图。 因为图中$S_{正方形}=8^{2}+2\cdot 8\cdot x+x^{2}$,$S_{正方形}=76$,所以$8^{2}+2× 8\cdot x+x^{2}=76$,当$x^{2}$较小时,省略$x^{2}$,得$16x+64\approx 76$,解得$x\approx 0.75$,所以$\sqrt{76}\approx8.75$。

24 阅读与思考
下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务。
年*月*日 星期二 晴
无理数与线段长
回顾梳理：要在数轴上找到表示 $ \pm\sqrt{2} $ 的点,关键是在数轴上构造线段 $ OA = OA' = \sqrt{2} $。如图①,把两个边长为 1 的小正方形分别沿对角线剪开,将所得的 4 个直角三角形拼在一起,可以得到一个面积为 2 的大正方形,面积为 2 的大正方形的边长就是原边长为 1 的小正方形的对角线长,因此可得小正方形的对角线长为 $ \sqrt{2} $；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图②,正方形的边长为 1 个单位长度,以原点 $ O $ 为圆心,对角线长为半径画弧与数轴分别交于点 $ A $、$ A' $,则点 $ A $ 对应的数为 $ \sqrt{2} $,点 $ A' $ 对应的数为 $ -\sqrt{2} $。

类比思考：如图③,改变图②中正方形的位置,以数字 1 所在的点为圆心,用类似的方法作图,可在数轴上构造出线段 $ OB $ 与 $ OB' $,其中 $ O $ 仍在原点,点 $ B $、$ B' $ 分别在原点的右侧、左侧,可由线段 $ OB $ 与 $ OB' $ 的长得到点 $ B $、$ B' $ 所表示的无理数！
按照这样的思路,只要构造出特定长度的线段,就能在数轴上找到无理数对应的点！
任务：
(1) 上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想 。
(A) 方程思想 (B) 数形结合思想 (C) 化归思想
(2) “类比思考”中,线段 $ OB $ 的长为 ,$ OB' $ 的长为 ,则点 $ B $ 表示的数为 ,点 $ B' $ 表示的数为 。
(3) 拓展思考：通过动手操作,小敏同学把长为 5,宽为 1 的长方形进行裁剪,拼成如图④所示的正方形,则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示 $ \sqrt{5} - 1 $ 的点 $ P $。(保留作图痕迹并标出必要线段长)

答案：
（1）B（2）$1+\sqrt{2}$,$\sqrt{2}-1$,$1+\sqrt{2}$,$-\sqrt{2}+1$
（3）因为大正方形的面积为5,所以小长方形的对角线长为$\sqrt{5}$。如图,小长方形的长和宽分别为2和1,以数字-1所在的点为圆心,小长方形的对角线长为半径画弧,与数轴在原点的右侧交于点P,则点P对应的数为$\sqrt{5}-1$,则点P即为所求。