《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

23 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$BC = 8$,点 $E$ 是 $BC$ 边上一点,连接 $AE$,把 $\angle B$ 沿 $AE$ 折叠,使点 $B$ 落在点 $B'$ 处,当 $\triangle CEB'$ 为直角三角形时,求 $BE$ 的长度。

答案： ①当∠CB'E=90°,即点B'在AC上时,此时BE=3;②当∠CEB'=90°时,点B'在AD上,此时BE=6。

24 探究一：如图①,$P$、$Q$、$M$ 均为正方形。



问题：(1)若图①中的 $\triangle DEF$ 为直角三角形,$P$ 的面积为 $3$,$Q$ 的面积为 $10$,则 $M$ 的面积为______；
(2)若 $P$ 的面积为 $15cm^2$,$Q$ 的面积为 $45cm^2$,同时 $M$ 的面积为 $60cm^2$,则 $\triangle DEF$ 为______三角形。
探究二：图形变化：
(3)如图②,分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,判断这三个半圆的面积之间有什么关系,并说说你的理由；
(4)如图③,如果直角三角形两直角边长分别为 $6$ 和 $8$,以直角三角形的三边为直径作半圆,你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能,请写出你的计算过程；如果不能,请说明理由。

答案： 探究一：
(1)13
(2)直角探究二：
(3)S₁+S₂=S₃。理由如下:设直角三角形的三边分别为a、b、c(a＜b＜c),则a²+b²=c²。S₁=1/2×(a/2)²×π=a²π/8,S₂=1/2×(b/2)²×π=b²π/8,S₃=1/2×(c/2)²×π=c²π/8,因为S₁+S₂=a²π/8+b²π/8=(a²+b²)×π/8=c²π/8,所以S₁+S₂=S₃。
(4)由图②可知S阴影=S直角三角形=1/2×6×8=24。