《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

24 (1) 如图①,四边形 $ ABCD $ 是正四边形,$ \angle EAF $ 在 $ \angle BAD $ 的内部绕点 $ A $ 转动,若 $ AE $ 平分 $ \angle BEF $。
① 求证：$ AF $ 平分 $ \angle DFE $；
② 直接写出线段 $ BE $、$ EF $、$ DF $ 之间的数量关系： ；
(2) 如图②,四边形 $ ABCD $ 是正四边形,$ \angle EAF = 45^{\circ} $,$ \angle EAF $ 绕点 $ A $ 旋转,$ \angle EAF $ 的边与 $ CB $ 的延长线交于点 $ E $,与 $ DC $ 的延长线交于点 $ F $。求证：$ BE + EF = DF $。

答案：

(1)①如图①，过点 A 作 AG⊥EF，垂足为点 G。因为四边形 ABCD 为正四边形，所以∠B=∠D=90°，AB=AD，所以 AB⊥BE，AD⊥DF。因为 AE 平分∠BEF，AB⊥BE，AG⊥EF，所以 AB=AG，所以 AG=AD。因为 AD⊥DF，AG⊥EF，所以 AF 平分∠DFE。
②DF+BE=EF。理由如下:因为∠B=∠AGE=90°，AE=AE，AB=AG，所以△ABE≌△AGE(HL)，所以 BE=EG。同理可证:DF=GF，所以 BE+DF=EG+GF=EF。
(2)DF=BE+EF。理由如下:如图②，在 DC 上截取 DM=BE，连接 AM。因为四边形 ABCD 为正四边形，所以∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，所以∠ABE=180° - ∠ABC=90°，所以∠ABE=∠ADM。在△ABE 和△ADM 中，因为{AB=AD，∠ABE=∠ADM，BE=DM}，所以△ABE≌△ADM(SAS)，所以 AE=AM，∠EAB=∠DAM。因为∠EAB+∠BAF=∠EAF=45°，所以∠DAM+∠BAF=45°，所以∠MAF=∠BAD - (∠DAM+∠BAF)=45°，所以∠EAF=∠MAF=45°，在△EAF 和△MAF 中，因为{AE=AM，∠EAF=∠MAF，AF=AF}，所以△EAF≌△MAF(SAS)，所以 EF=MF，所以 DF=DM+MF=BE+EF。