《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

22 在象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记$2$分,输者记$0$分。如果是平局,两个选手各记$1$分,有四个同学统计了全部选手的得分总数,分别是$1979$、$1980$、$1984$、$1985$。经核实,有一位同学统计无误。试计算：这次比赛共有多少个选手参加？

答案： 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n - 1)个选手比赛一局，共计n(n - 1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为$\frac{1}{2}n(n - 1)$局。由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n - 1)分。显然n - 1与n为相邻的自然数，可以验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0、2、6，故总分不可能是1979、1984、1985，因此总分只能是1980，于是n(n - 1) = 1980，得$n^2 - n - 1980 = 0$，解得$n_1 = 45$，$n_2 = - 44$（舍去）。答：参加比赛的选手共有45人。

23 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出$20$件,每件赢利$40$元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,每件衬衫每降价$1$元,商场平均每天可多售出$2$件。请问：(1)如果商场平均每天要赢利$1200$元,那么每件衬衫应降价多少元？(2)当每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多？

答案：
(1)设每件衬衫应降价x元，则可列方程(40 - x)(20 + 2x) = 1200，解得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$，即要使商场平均每天赢利1200元，则每件衬衫应降价10元或20元。
(2)设每件衬衫降价x元，则所得赢利为(40 - x)(20 + 2x) = $-2(x - 15)^2 + 1250$，所以，当每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为元．