《2025年华东师大版一课一练八年级数学上册沪教版五四制增强版》

15 如果$\sqrt [n]{m-n}$是二次根式,且值为5,则$m^{n}$的算术平方根是 。

答案： 27

16 将$a\sqrt {-\frac {a+1}{a^{2}}}$化为最简二次根式的结果为 。

答案： $-\sqrt{-a - 1}$

17 若n为整数,且$\sqrt {n^{2}+9n+30}$是自然数,则$n= $ 。

答案： -14或-7或-2或5 [提示:因为设$\sqrt{n^{2}+9n + 30}=p$（p为非负整数）,则$n^{2}+9n + 30 = p^{2}$,所以$4n^{2}+36n + 120 = 4p^{2}$,所以$(2n + 9)^{2}+39 = 4p^{2}$,所以$(2p + 2n + 9)(2p - 2n - 9)=39$,所以$\begin{cases}2p + 2n + 9 = 1\\2p - 2n - 9 = 39\end{cases}$或$\begin{cases}2p + 2n + 9 = 39\\2p - 2n - 9 = 1\end{cases}$或$\begin{cases}2p + 2n + 9 = 3\\2p - 2n - 9 = 13\end{cases}$或$\begin{cases}2p + 2n + 9 = 13\\2p - 2n - 9 = 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}n = -14\\p = 10\end{cases}$或$\begin{cases}n = 5\\p = 10\end{cases}$或$\begin{cases}n = -7\\p = 4\end{cases}$或$\begin{cases}n = -2\\p = 4\end{cases}$,所以$n = -14$或$-7$或$-2$或$5$。]

18 实数a、b满足$\sqrt {a^{2}-4a+4}+\sqrt {36-12a+a^{2}}= 10-|b+4|-|b-2|$,则$a^{2}+b^{2}$的最大值为 。

答案： 52 [提示:原式可变形为$\sqrt{(a - 2)^{2}}+\sqrt{(a - 6)^{2}}+|b + 4|+|b - 2| = 10$,所以$|a - 2|+|a - 6|+|b + 4|+|b - 2| = 10$,所以$a$到$2$和$6$的距离之和是$4$,$b$到$-4$和$2$的距离之和是$6$,所以$2\leqslant a\leqslant 6$,$-4\leqslant b\leqslant 2$,所以$|a|$的最大值为$6$,$|b|$的最大值为$4$,所以$a^{2}+b^{2}=6^{2}+(-4)^{2}=36 + 16 = 52$。]

19 阅读下列解题过程:
例:若代数式$\sqrt {(a-1)^{2}}+\sqrt {(a-3)^{2}}$的值是2,求a的取值范围。
解:原式$=|a-1|+|a-3|$。
当$a＜1$时,原式$=(1-a)+(3-a)= 4-2a= 2$,解得$a= 1$(舍去);
当$1≤a≤3$时,原式$=(a-1)+(3-a)= 2$,符合条件;
当$a＞3$时,原式$=(a-1)+(a-3)= 2a-4= 2$,解得$a= 3$(舍去)。
所以,a的取值范围是$1≤a≤3$。
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:
(1)当$2≤a≤3$时,化简:$\sqrt {(a-2)^{2}}+\sqrt {(a-5)^{2}}= $ ;
(2)若等式$\sqrt {(3-a)^{2}}+\sqrt {(a-7)^{2}}= 4$成立,则a的取值范围是 ;
(3)若$\sqrt {(a+1)^{2}}+\sqrt {(a-5)^{2}}= 8$,求a的值。

答案：
(1) 3
(2) 由题意可知:$|3 - a|+|a - 7| = 4$,当$a\leqslant 3$时,$3 - a\geqslant 0$,$a - 7\lt 0$,所以原方程化为:$3 - a-(a - 7)=4$,所以$a = 3$,符合题意;当$3\lt a\lt 7$时,$3 - a\lt 0$,$a - 7\lt 0$,所以$-(3 - a)-(a - 7)=4$,所以$4 = 4$,故$3\lt a\lt 7$,符合题意;当$a\geqslant 7$时,$3 - a\lt 0$,$a - 7\geqslant 0$,所以$-(3 - a)+(a - 7)=4$,所以$a = 7$,符合题意。综上所述,$3\leqslant a\leqslant 7$。
(3) 原方程可化为:$|a + 1|+|a - 5| = 8$。当$a\leqslant -1$时,$a + 1\leqslant 0$,$a - 5\lt 0$,所以原方程化为:$-a - 1-(a - 5)=8$,所以$a = -2$,符合题意;当$-1\lt a\lt 5$时,$a + 1\gt 0$,$a - 5\lt 0$,所以$(a + 1)-(a - 5)=8$,此方程无解,故$-1\lt a\lt 5$,不符合题意;当$a\geqslant 5$时,$a + 1\gt 0$,$a - 5\geqslant 0$,所以$a + 1+a - 5 = 8$,所以$a = 6$,符合题意。综上所述,$a = -2$或$a = 6$。