《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

13. 等腰三角形ABC中,$BD⊥AC$,垂足为D,且$BD=\frac {1}{2}AC$,则等腰三角形ABC底角的度数为______.

答案：
$15^{\circ }$或$45^{\circ }$或$75^{\circ }$ 【解析】①如图1,当点 B 是顶角顶点时,$\because AB=BC,BD⊥AC,\therefore AD=CD.\because BD=\frac{1}{2}AC,\therefore BD=AD=CD$. 在$Rt△ABD$中,$∠A=∠ABD=\frac{1}{2}×(180^{\circ } - 90^{\circ })=45^{\circ }$;②如图2,当点 B 是底角顶点,且 BD 在$△ABC$外部时,$\because BD=\frac{1}{2}AC,AC=BC,\therefore BD=\frac{1}{2}BC,\therefore ∠BCD=30^{\circ },\therefore ∠ABC=∠BAC=\frac{1}{2}×30^{\circ }=15^{\circ }$;③如图3,当点 B 是底角顶点,且 BD 在$△ABC$内部时,$\because BD=\frac{1}{2}AC,AC=BC,\therefore BD=\frac{1}{2}BC,\therefore ∠C=30^{\circ },\therefore ∠ABC=∠BAC=\frac{1}{2}×(180^{\circ } - 30^{\circ })=75^{\circ }$. 故答案为：$15^{\circ }$或$45^{\circ }$或$75^{\circ }$.

14. 如图,在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=6,BC=8$,D为边BC上一动点,将$△ACD$沿直线AD对折,其中点C的对应点为点E,连结AE,当$△BDE$为直角三角形时,线段BD的长为______.

答案：
5 或 2 【解析】如图1,当$∠BED=90^{\circ }$时,由折叠知,$∠AED=∠C=90^{\circ },\therefore ∠AED+∠BED=180^{\circ }$,
∴点 E 落在 AB 上. $\because ∠C=90^{\circ },AC=6,BC=8,\therefore AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,由对折可得$AE=AC=6,\therefore BE=10 - 6=4$,设$CD=x,DE=CD=x,BD=8 - x,\therefore (8 - x)^{2}=x^{2}+4^{2}$,解得$x=3,\therefore BD=8 - 3=5$. 如图2,当$∠BDE=90^{\circ }$时,易得$∠C=∠BDE=∠CDE=∠AED=90^{\circ },∠ADC=∠ADE=\frac{1}{2}×90^{\circ }=45^{\circ },\therefore △ADC$为等腰直角三角形,$\therefore AC=CD=6,\therefore BD=BC - CD=8 - 6=2$. 当$∠EBD=90^{\circ }$时不符合题意;故答案为:5或2.

15. 在$△ABC$中,$DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,CF=BE$. 求证:$∠B=∠C$.
证明：$\because DE⊥AB,DF⊥AC,\therefore ∠BED=∠CFD$. 在$△BDE$和$△CDF$中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ ∠BED=∠CFD,\\ BE=CF,\end{array}\right.$$\therefore △BDE\cong △CDF$(SAS),$\therefore ∠B=∠C.$

答案： 证明：$\because DE⊥AB,DF⊥AC,\therefore ∠BED=∠CFD$. 在$△BDE$和$△CDF$中,$\left\{\begin{array}{l} DE=DF,\\ ∠BED=∠CFD,\\ BE=CF,\end{array}\right.$$\therefore △BDE\cong △CDF(SAS),\therefore ∠B=∠C.$

16. 如图,点P在$∠AOB$外,点Q在边OA上,按要求画图,写出作图结论,并填空.
(1)过点P分别画$PE⊥OA,PF⊥OB$,垂足分别为E,F.
(2)连结PQ,用尺规作线段PQ的垂直平分线MN.
(3)过P,Q两点分别作OA,OB的平行线交于点G;若$∠AOB=120^{\circ }$,则$∠QGP=$______.

答案：

(1)如图1,PE,PF 为所求作的垂线.

(2)如图2,MN 为所求作的直线.
(3)如图3,PG,QG 为所求作的平行线. $\because GQ// OB,∠AOB=120^{\circ },\therefore ∠OQG=180^{\circ }-∠AOB=60^{\circ }$. $\because PG// OA,\therefore ∠QGP=180^{\circ }-∠OQG=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. 故答案为:$120^{\circ }$.