《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 已知函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 $, 请回答下列问题:
(1) 将函数化为 $ y = a ( x - h ) ^ { 2 } + k $ 的形式.$y=(x - 2)^{2}-1$
(2) 写出这个函数的顶点坐标和对称轴.顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$
(3) 该函数的图象可以通过怎样的平移得到函数 $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 3 $ 的图象?将原函数图象先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到该函数图象(或先向下平移3个单位，再向左平移3个单位)

答案： 【解析】：1. 对于将函数$y = x^{2}-4x + 3$化为$y=a(x - h)^{2}+k$的形式，使用配方法，$y=x^{2}-4x + 3=x^{2}-4x+4 - 4 + 3=(x - 2)^{2}-1$。
2. 对于二次函数的顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x = h$，那么函数$y=(x - 2)^{2}-1$的顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$。
3. 先将函数$y = x^{2}+2x - 3$化为顶点式，$y=x^{2}+2x - 3=x^{2}+2x + 1-1 - 3=(x + 1)^{2}-4$。原函数$y=(x - 2)^{2}-1$的顶点为$(2,-1)$，目标函数$y=(x + 1)^{2}-4$的顶点为$(-1,-4)$。从顶点$(2,-1)$到顶点$(-1,-4)$，横坐标的变化是$2-(-1)=3$，即向左平移$3$个单位；纵坐标的变化是$-1-(-4)=3$，即向下平移$3$个单位。所以将原函数图象先向左平移$3$个单位，再向下平移$3$个单位得到该函数图象，由于平移的顺序不影响最终结果，也可以先向下平移$3$个单位，再向左平移$3$个单位。
【答案】：1. $y = (x - 2)^{2}-1$ 2. 顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$ 3. 函数$y = x^{2}+2x - 3$转化为顶点式为$y = (x + 1)^{2}-4$，将原函数图象先向左平移$3$个单位，再向下平移$3$个单位得到该函数图象(或先向下平移$3$个单位，再向左平移$3$个单位)

例3 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的图象如图所示,运用对称轴公式或顶点公式判断 $ a $, $ b $, $ c $ 的正负.
$a$＞0，$b$＜0，$c$＜0.

答案： 【解析】：对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，二次项系数$a$决定抛物线的开口方向，当开口向上时，$a\gt0$；常数项$c$决定抛物线与$y$轴交点的位置，当图象与$y$轴交于负半轴时，$c\lt0$；对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，当对称轴在$y$轴右侧时，$-\frac{b}{2a}\gt0$，已知$a\gt0$，不等式两边同时乘以$2a$（$2a\gt0$，不等号方向不变），得到$-b\gt0$，即$b\lt0$，也可以根据“左同右异”原则，对称轴在$y$轴右侧，$a$与$b$符号相反，因为$a\gt0$，所以$b\lt0$。
【答案】：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$