《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

2. 会在简单条件下判断点与圆的位置关系.
一般地,如果 $ P $ 是圆所在平面内的一点,$ d $ 表示点 $ P $ 到圆心的距离,$ r $ 表示圆的半径,那么就有:
$ d ＜ r \Leftrightarrow $点 $ P $ 在圆内; $ d = r \Leftrightarrow $点 $ P $ 在圆上; $ d ＞ r \Leftrightarrow $点 $ P $ 在圆外.

答案： 内 上 外

例1 在$ \triangle ABC $中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 2\mathrm{cm} $,$ BC = 4\mathrm{cm} $,$ CM $是中线,$ CD $是 $ AB $ 边上的高线,以点 $ C $ 为圆心,$ \sqrt{5}\mathrm{cm} $长为半径画圆,则 $ A,B,C,D,M $ 五点中,在$ \odot C $上的是点____M____,在$ \odot C $内的是点____A,C,D____,在$ \odot C $外的是点____B____.

答案： 【解析】：本题可根据点与圆的位置关系的判定方法，即比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小关系来确定各点与圆的位置关系。已知圆$C$半径$r = \sqrt{5}\mathrm{cm}$。
对于点$A$，$AC = 2\mathrm{cm}$，因为$2\lt\sqrt{5}$，所以点$A$在$\odot C$内。
对于点$B$，$BC = 4\mathrm{cm}$，因为$4\gt\sqrt{5}$，所以点$B$在$\odot C$外。
对于点$C$，点$C$为圆心，所以点$C$到圆心$C$的距离为$0$，$0\lt\sqrt{5}$，点$C$在$\odot C$内。
对于点$D$，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 2\mathrm{cm}$，$BC = 4\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得$AB = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。再根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}AC\cdot BC = \frac{1}{2}AB\cdot CD$，可得$CD = \frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{2\times 4}{2\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}(\mathrm{cm})$，比较$\frac{4\sqrt{5}}{5}$与$\sqrt{5}$大小，$\frac{4\sqrt{5}}{5}\lt\sqrt{5}$，所以点$D$在$\odot C$内。
对于点$M$，因为$CM$是中线，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$CM = \frac{1}{2}AB = \sqrt{5}(\mathrm{cm})$，则点$M$到圆心$C$的距离等于圆的半径，所以点$M$在$\odot C$上。
【答案】：$M$ $A,C,D$ $B$