《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

13. 我们知道:四边形具有不稳定性. 如图,在平面直角坐标系中,边长为 1 的正方形 $ A B C D $ 的边 $ A B $ 在 $ x $ 轴上,$ A B $ 的中点是坐标原点 $ O $,固定点 $ A , B $,把正方形的边 $ C D $ 推动,使它的一个顶点落在 $ y $ 轴的正半轴上,则点 $ C $ 的对应点 $ C ^ { \prime } $ 的坐标为(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)或(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).

答案： (1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)或(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

14. 如图,菱形 $ A B C D $ 的边长为 4,$ \angle A D C = 120 ^ { \circ } $,$ E $ 为 $ B C $ 的中点,在对角线 $ A C $ 上存在一点 $ P $,使 $ \triangle P B E $ 的周长最小,则 $ \triangle P B E $ 的周长的最小值为________.

答案：
2$\sqrt{3}$+2　[解析]如图，连结DE交AC于点P',连结DB,BP'.
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小,只需要PB十PE的长度最小即可.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P'D=P'B,
∴PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P'重合.
∵菱形ABCD的边长为4,E为BC的中点，∠ADC=120°,
∴AD//BC,
∴∠DCB=180°−∠ADC=60°,
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=4,BE=$\frac{1}{2}$BC=2,DE⊥BC,
∴DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$,
∴△PBE的最小周长=DE+BE=2$\sqrt{3}$+2.故答案为:2$\sqrt{3}$+2.
　　

15. 如图,在 $ □ A B C D $ 中,点 $ E $ 在 $ A B $ 的延长线上,且 $ E C // B D $. 求证:$ B E = A B $.
证明:∵ABCD是平行四边形，∴AB//CD,AB=CD,即BE//CD,又∵EC//BD,∴四边形BECD是平行四边形.∴BE=CD.∴BE=AB.

答案： 证明:
∵ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD,即BE//CD,又
∵EC//BD,
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BE=CD.
∴BE=AB.

16. 如图,在方格纸中按要求画一个以 $ A , B , C , D $ 为顶点的平行四边形.(图中每个小方格的边长为 1,点 $ A , B , C , D $ 都必须在格点上)

(1)在图 1 中画一个 $ □ A B C D $,使 $ \angle A B C = 135 ^ { \circ } $,$ B C = 3 $.
(2)在图 2 中画一个 $ □ A B C D $,使各边长均为无理数,且该平行四边形的面积为 6.

答案：

(1)如图1,四边形ABCD即为所求.(不唯一)

(2)如图2,四边形ABCD即为所求.(不唯一)