《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

17. 如图,在正方形 $ A B C D $ 中,$ E , F $ 为对角线 $ B D $ 上两点,$ C E = C F $.
(1)求证:$ A E = C E $.
(2)请你判断四边形 $ A F C E $ 的形状.(不必证明)
(3)若 $ E F = 6 $,$ D E = B F = 3 $,求四边形 $ A F C E $ 的周长.

答案：

(1)证明:
∵在正方形ABCD中BD为其对角线,
∴∠ADB=∠CDB,AD=CD.
∵DE=DE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴AE=CE.
(2)四边形AFCE是菱形.
(3)如图，连结AC交BD于点O,
∵在菱形AFCE中,AC⊥EF,且EF=6,DE=BF=3,
∴AC=BD=DE+EF+BF=12,OE=$\frac{1}{2}$EF=3,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=6.
∵∠AOE=90°,
∴在Rt△AOE中,AE²=OE²+AO²,
∴AE²=9+36=45,
∴AE=3$\sqrt{5}$,
∴四边形AFCE的周长为4×3$\sqrt{5}$=12$\sqrt{5}$
　　

18. 如图 1,$ \angle A O B = 45 ^ { \circ } $,$ P , Q $ 分别是边 $ O A , O B $ 上的两点,且 $ O P = 4 $. 将 $ \triangle O P Q $ 沿 $ P Q $ 折叠,点 $ O $ 落在平面内点 $ C $ 处.
(1)①当 $ P C // Q B $ 时,$ O Q = $______;
②当 $ P C \perp Q B $ 时,求 $ O Q $ 的长.
(2)若点 $ C $ 在 $ \angle A O B $ 的内部(包括边缘),当折叠后重叠部分为等腰三角形时,求 $ O Q $ 的长.

答案：

(1)①
∵折叠,
∴∠O=∠PCQ,OQ=CQ,OP=PC.
∵PC//QB,
∴∠O=∠CPA,
∴∠PCQ=∠CPA,
∴CQ//OP,
∴四边形OPCQ为平行四边形,
∵OQ=CQ,
∴四边形OPCQ为菱形，
∴OQ=OP=4;故答案为:4.
②当PC⊥QB时，有两种情况:当点C在OB上方时，如图1,
∵∠O=45°,
∴△POM为等腰直角三角形,
∴OM=PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=2$\sqrt{2}$,设OQ=x,则MQ=2$\sqrt{2}$−x.
∵折叠,
∴CQ=OQ=x,∠C=∠O=45°,
∴△CMQ为等腰直角三角形，
∴CQ=$\sqrt{2}$MQ,即x=$\sqrt{2}$(2$\sqrt{2}$−x),解得x=4$\sqrt{2}$−4;
∴OQ=4$\sqrt{2}$−4;当点C在OA下方时，如图2,同理可得OQ=4$\sqrt{2}$+4;综上,OQ的长为4$\sqrt{2}$+4或4$\sqrt{2}$−4.
　　 　　　
(2)当重叠部分为等腰三角形时，有3种情况，①当点C在∠AOB内部时，如图3,则四边形OPCQ为菱形，
∴OQ=OP=4;②当点C在边OB上时，如图4,则PQ垂直平分OC,
∵∠O=45°,
∴△PQO为等腰直角三角形，
∴OQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OP=2$\sqrt{2}$;③当点C在边OA上时，如图5,同理可得OQ=$\sqrt{2}$OP=4$\sqrt{2}$;综上,OQ的长为4或2$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$