《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

17. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8cm$，$BC = 16cm$，点 $P$ 从点 $D$ 出发向点 $A$ 运动，运动到点 $A$ 停止，同时，点 $Q$ 从点 $B$ 出发向点 $C$ 运动，运动到点 $C$ 即停止，点 $P$，$Q$ 的速度都是 $1cm/s$。连结 $PQ$，$AQ$，$CP$。设点 $P$，$Q$ 运动的时间为 $ts$。
（1）当 $t$ 为何值时，四边形 $ABQP$ 是矩形。8
（2）当 $t$ 为何值时，四边形 $AQCP$ 是菱形。6
（3）分别求出（2）中菱形 $AQCP$ 的周长和面积。40cm，80cm²

答案：
(1)
∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,
∴BC=AD=16,AB=CD=8。由已知可得,BQ=DP=t,AP=CQ=16−t。在矩形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,
∴t=16−t,得t=8,故当t=8时,四边形ABQP为矩形。
(2)
∵AP=CQ,AP//CQ,
∴四边形AQCP为平行四边形,
∴当AQ=CQ,即AQ²=CQ²时,四边形AQCP为菱形,即8²+t²=(16−t)²时,四边形AQCP为菱形,解得t=6,故当t=6时,四边形AQCP为菱形。
(3)当t=6时,AQ=CQ=CP=AP=16−6=10,则周长为4×10=40(cm);面积为10×8=80(cm²)。

18. 如图，$\triangle ABC$ 中，$AD$ 平分 $∠BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$，在射线 $AB$ 上截取 $AE = AC$，过点 $E$ 作 $EF// BC$ 交直线 $AD$ 于点 $F$。
（1）试判断四边形 $CDEF$ 是何种特殊的四边形，并证明你的结论。
（2）当 $AB＞AC$，$∠ABC = 20^{\circ}$ 时，四边形 $CDEF$ 能是正方形吗？如果能，求出此时 $∠BAC$ 的度数；如果不能，试说明理由。
（3）题目改为“$AD$ 平分 $∠BAC$ 的外角交直线 $BC$ 于点 $D$，在射线 $AB$ 的反向延长线上截取 $AE = AC$”，设 $∠ABC = x$。其他条件不变，四边形 $CDEF$ 能是正方形吗？如果能，求出此时 $∠BAC$ 的度数（用关于 $x$ 的关系式表示）；如果不能，试说明理由。

答案：

(1)四边形CDEF是菱形,理由如下:如图1,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2。在△AEF和△ACF中,
$\begin{cases}AE = AC\\∠1 = ∠2\\AF = AF\end{cases}$
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴EF=FC。同理可得△AED≌△ACD(SAS),
∴ED=CD,∠ADE=∠ADC。
∵EF//BD,
∴∠EFD=∠FDC,
∴∠ADE=∠EFD,
∴EF=ED,
∴EF=FC=ED=DC,
∴四边形CDEF是菱形。

(2)能,理由如下:
∵CDEF是正方形,
∴∠EDC=∠DEF=90°。
∵∠ABC=20°,EF//BC,
∴∠AEF=20°。
∵DF是正方形的对角线,
∴∠EFD=45°。
∵∠AEF+∠EAF=∠EFD=45°,
∴∠EAF=25°。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=50°。
(3)能,理由如下:当∠ABC＜90°时,如图2,
∵四边形CDEF是正方形,
∴∠FCD=∠CDE=90°。
∵AD平分∠BAC的外角,
∴∠CAD=∠EAD。在△ACD和△AED中,
$\begin{cases}AD = AD\\∠CAD = ∠EAD\\AC = AE\end{cases}$
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴∠ACD=∠AED。
∵∠ABC=x,
∴∠ACD=∠AED=90°−x,
∴∠FCA=90°−(90°−x)=x,
∴∠BCA=90°+x。在△BAC中,∠BAC=180°−∠B−∠BCA=180°−x−(90°+x)=90°−2x。

当∠ABC＞90°时,如图3,
∵四边形CDEF是正方形,
∴EF//CD,∠FCD=∠CDE=90°,
∴∠FEB=∠EBD。

∵∠ABC=x,
∴∠FEB=∠EBD=180°−x。
∵AD平分∠BAC的外角,
∴∠CAF=∠EAF。在△ACF和△AEF中,
$\begin{cases}AF = AF\\∠CAF = ∠EAF\\AC = AE\end{cases}$
∴△ACF≌△AEF(SAS),
∴∠ACF=∠AEF,即∠ACF=∠AEF=180°−x,
∴∠BCA=90°−(180°−x)=x−90°。在△BAC中,∠BAC=180°−∠ABC−∠BCA=180°−x−(x−90°)=270°−2x。综上所述,∠BAC=90°−2x或∠BAC=270°−2x。