《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

例2 如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线 $ y = - 0.2 x ^ { 2 } + b x + 2.25 $ 运行,球运行点距运动员水平距离2.5米处达到最高,最高点距地面3.5米.
(1)求抛物线的表达式.$y = - 0.2x ^ { 2 } + x + 2.25$
(2)若篮筐中心和该运动员的水平距离 $ OH $ 是4米,且篮筐中心离地面的高度为3.05米,请问该运动员本次投篮是否直接命中篮筐中心?请说明理由.直接命中，理由：当$x = 4$时，$y = - 0.2× 4 ^ { 2 } + 4 + 2.25 = 3.05$，与篮筐中心离地面高度相等，所以该运动员本次投篮直接命中篮筐中心。

答案： 【解析】：1. 对于（1），已知球运行到距运动员水平距离$2.5$米处达到最高，最高点距地面$3.5$米，即当$x = 2.5$时，$y = 3.5$，将其代入抛物线$y = - 0.2x ^ { 2 } + bx + 2.25$中，得到方程$- 0.2\times 2.5 ^ { 2 } + 2.5b + 2.25 = 3.5$，通过解方程求出$b$的值，进而得到抛物线的表达式。
解方程$- 0.2\times 2.5 ^ { 2 } + 2.5b + 2.25 = 3.5$：
先计算$- 0.2\times 2.5 ^ { 2 }=-0.2\times6.25 = - 1.25$，则方程变为$-1.25 + 2.5b + 2.25 = 3.5$。
合并同类项得$2.5b+1 = 3.5$。
移项得$2.5b = 3.5 - 1$，即$2.5b = 2.5$。
两边同时除以$2.5$，解得$b = 1$。
所以抛物线表达式为$y = - 0.2x ^ { 2 } + x + 2.25$。
2. 对于（2），要判断运动员是否直接命中篮筐中心，已知篮筐中心和该运动员的水平距离$OH$是$4$米，且篮筐中心离地面的高度为$3.05$米，把$x = 4$代入（1）中求得的抛物线表达式$y = - 0.2x ^ { 2 } + x + 2.25$，求出对应的$y$值，再与$3.05$比较。
当$x = 4$时，$y = - 0.2\times 4 ^ { 2 } + 4 + 2.25$。
先计算$- 0.2\times 4 ^ { 2 }=-0.2\times16=-3.2$，则$y=-3.2 + 4 + 2.25$。
计算得$y = 3.05$。
因为计算出的$y$值等于篮筐中心离地面的高度$3.05$米，所以该运动员本次投篮直接命中篮筐中心。
【答案】：1. $y = - 0.2x ^ { 2 } + x + 2.25$ 2. 直接命中，理由：当$x = 4$时，$y = - 0.2\times 4 ^ { 2 } + 4 + 2.25 = 3.05$，与篮筐中心离地面高度相等，所以该运动员本次投篮直接命中篮筐中心。

例3 一个批发商销售成本为20元/千克的某产品,根据物价部门规定:该产品每千克售价不得超过90元,在销售过程中,发现销售量 $ y $(千克)与售价 $ x $(元/千克)满足一次函数关系,对应关系如下表:
|售价 $ x $/(元/千克)|…|50|60|70|80|…|
|----|----|----|----|----|----|----|
|销售量 $ y $/千克|…|100|90|80|70|…|
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2)该产品每千克售价为多少元时,批发商获得的利润 $ w $(元)最大?此时的最大利润为多少元?

答案： 【解析】：1. 对于（1），设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + b (k \neq 0)$，因为已知销售量$y$与售价$x$满足一次函数关系，且给出了两组$x$、$y$的对应值$\begin{cases}x = 50,y = 100\\x = 60,y = 90\end{cases}$，将其代入函数表达式可得方程组$\begin{cases}50k + b = 100\\60k + b = 90\end{cases}$，用第二个方程$60k + b = 90$减去第一个方程$50k + b = 100$，即$(60k + b)-(50k + b)=90 - 100$，得到$10k=-10$，解得$k = - 1$，把$k = - 1$代入$50k + b = 100$，可得$50\times(-1)+b = 100$，即$-50 + b = 100$，解得$b = 150$，所以$y$关于$x$的函数表达式为$y = - x + 150$。
2. 对于（2），根据利润问题的基本等量关系：利润$=$（售价$-$成本价）$\times$销售量，已知成本为$20$元/千克，售价为$x$元/千克，销售量$y=-x + 150$，所以$w=(x - 20)y=(x - 20)(-x + 150)$，展开式子得$w=-x^{2}+150x + 20x-3000=-x^{2}+170x - 3000$，再通过配方法将其化为顶点式$w=-x^{2}+170x - 3000=-(x^{2}-170x)-3000=-(x^{2}-170x + 85^{2}-85^{2})-3000=-[(x - 85)^{2}-7225]-3000=-(x - 85)^{2}[phone]=-(x - 85)^{2}+4225$。因为二次项系数$-1\lt0$，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，又因为该产品每千克售价不得超过$90$元，而$85\lt90$，所以当$x = 85$时，$w$最大，最大值是$4225$。
【答案】：1. $y = - x + 150$ 2. 该产品每千克售价为$85$元时，批发商获得的利润最大，最大利润为$4225$元