《2025年暑假衔接八年级数学浙教版延边人民出版社》

18. (10分)二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象经过点 $ A ( 0, - 3 ) $,$ B ( 2, - 3 ) $.
(1)求二次函数的表达式.$y=x^2-2x-3$
(2)该二次函数图象与 $ x $ 轴交于 $ C $,$ D $ 两点,则 $ \triangle A C D $ 的面积为______6.
(3)将该二次函数的图象向上平移______3或4个单位长度,恰好与坐标轴有两个公共点.

答案：
(1)把点A(0, -3),B(2, -3)代入到二次函数表达式y = x² + bx + c中,得$\begin{cases} 4 + 2b + c = -3 \\ c = -3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} b = -2 \\ c = -3 \end{cases}$,
∴二次函数表达式为y = x² - 2x - 3.
(2)令y = 0,则x² - 2x - 3 = 0,解得x = -1或x = 3,
∴不妨设点C(-1, 0),D(3, 0),
∴CD = 4,
∴S₍△ACD₎ = $\frac{1}{2}$CD·(-yₐ) = $\frac{1}{2}$×4×3 = 6,故答案为:6.
(3)
∵二次函数表达式为y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4,
∴平移前的顶点坐标为(1, -4),当二次函数向上平移4个单位长度时,平移后的顶点坐标为(1, 0),
∴此时二次函数与x轴只有一个交点,并且与y轴有一个交点,符合题意;当平移后的二次函数恰好经过原点时,设向上平移t个单位长度,
∴平移后的二次函数的表达式为y = (x - 1)² - 4 + t,把点(0, 0)代入到y = (x - 1)² - 4 + t得0 = (0 - 1)² - 4 + t,解得t = 3,
∴平移后的表达式为y = (x - 1)² - 1,令x = 0,则y = 0,令y = 0,则x = 0或x = 2,
∴此时抛物线与x轴有两个交点(0, 0),(2, 0),与y轴有1个交点(0, 0),即此时二次函数的图象与坐标轴只有2个交点;综上所述,将该二次函数图象向上平移3个或4个单位长度,恰好与坐标轴有两个公共点,故答案为:3或4.

19. (12分)某商店销售一种进价100元/件的商品,规定售价不低于进价且不得超过进价的1.4倍,经市场调查发现:该商品每天的销售量 $ y $(件)是关于售价 $ x $(元/件)的一次函数,其售价、销售量的两组对应值如下表:
|售价 $ x $/(元/件)|130|140|
|----|----|----|
|销售量 $ y $/(件)|80|60|
(1)直接写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式.
(2)设商店销售该商品每天获得的利润为 $ W $(元),求 $ W $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并求出当销售单价定为多少时,该商店销售这种商品每天获得的利润最大?
(3)若某天的利润不低于2000元,请直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1)设y关于售价x的函数关系式为y = kx + b,将(130, 80),(140, 60)代入y = kx + b,得$\begin{cases} 80 = 130k + b \\ 60 = 140k + b \end{cases}$,解得$\begin{cases} k = -2 \\ b = 340 \end{cases}$,
∴y关于售价x的函数关系式为y = -2x + 340.
(2)由
(1)知,每天的销售量为y = -2x + 340,
∵商品进价为100元/件,
∴W与x之间的函数关系式为W = (-2x + 340)(x - 100) = -2x² + 540x - 34000;
∵W = -2x² + 540x - 34000 = -2(x - 135)² + 2450,-2 ＜ 0,且100 ≤ x ≤ 140,
∴当x = 135时,W有最大值,故当销售单价定为135时,该商店销售这种商品每天获得的利润最大.
(3)由
(2)知,W与x之间的函数关系式为W = -2x² + 540x - 34000,
∴当某天的利润不低于2000元时,令 -2x² + 540x - 34000 = 2000,即(x - 135)² = 225,解得x = 120或x = 150,
∵100 ≤ x ≤ 140,
∴120 ≤ x ≤ 140.